将军饮马问题的三种解法及其物理意义

将军饮马问题的三种解法及其物理意义

将军饮马问题是一个经典的数学最优路径问题，它不仅可以通过几何方法求解，还可以通过类比光的反射定律和代数方法来解决。这个问题展示了数学与物理之间的深刻联系，体现了最优路径问题在不同学科中的普遍性。

将军饮马问题，属于数学上的最优解问题，最短路径，最优路径。这本质上，与光的反射定律是一回事。

如下图所示，将军在A点，与河流距4米，与营帐B距5米，营帐与河流距1米。将军先去河流饮马，再去营帐。请问，若使得总路程最短，那么河流的M点横向距离将军多远？

先建立简单的坐标系，转换为数学问题。A（0,4），B（4,1），M（x，0），使得AM+MB距离最短，求x=？

第一种解法：几何方法

利用“两点之间，直线距离最短。”

作图B点的镜像B’点（4，-1），即与x轴对称，显然根据两个全等的直角三角形，MB=MB’。那么AM+MB=AM+MB’≥AB’。当AMB’三点一线时，最短路径。同一直线，斜率相同，故(0-4)/(x-0)=(-1-4)/(4-0)，这就解得x=16/5。

第二种解法：类比光的反射定律

光程差最短，耗时最短，入射角θ1=θ2出射角。那么，tgθ1=tgθ2，即(x-0)/4=(4-x)/1，解得x=16/5。

第三种解法：代数方法

让一阶导数为0，f’(x)=0，函数L有极小值。这个比较复杂，L=L1+L2=f（x）。参考下图计算过程。这里，在求根式方程时，有两个解，其中x1=16/3是增根，不合题意，舍去；x=16/5是答案。

这三种解法结果是一致的，互相验证。

最后说一下光学的费马原理，最短光程差。光的传播路径，是时间差最短的路径。所以，若是直射，两点之间是光沿直线传播；若是反射，那么入射角与反射角相等；若是折射，不同的介质，那么就有n1sinθ1=n2sinθ2。下图最后部分，是光的折射定律及反射定律的证明推导过程。

这也进一步启发了新的物理思想，分析力学的最小作用量原理，比如L=T-V，动能与势能之差最小。泛函分析，求极值问题；找拉氏量，约束方程，欧拉-拉格朗日方程，解微分方程即可。

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