线性代数（财经类） 课件 2.7矩阵的秩

线性代数（财经类） 课件 2.7矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它反映了矩阵的行（列）向量组的线性相关性。本文将详细介绍矩阵秩的定义、计算方法以及相关定理，并通过多个例题进行讲解。

矩阵秩的概念

定义12（k阶子式）

设A是一个m×n矩阵。从A中任取k行k列（k≤min(m,n)），位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。

例如，设矩阵A的第一、三行与第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为：

定义13（矩阵的秩）

设A为m×n矩阵。如果A中不为零的子式最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作R(A)=r，并规定零矩阵的秩为零。

例如，矩阵A中有二阶子式不为零，但它的任何三阶子式皆为零，即不为零的子式的最高阶数为2，故R(A)=2。

显然，若A为方阵，则矩阵秩的概念可以进一步说明：

当A为n阶矩阵且R(A)=n时，称矩阵A为满秩矩阵。例如，矩阵A的行列式不为零，所以A是满秩矩阵。如果一个n阶矩阵A是满秩的，则|A|≠0，因而A可逆，反之亦然。所以A可逆的充分必要条件是A满秩。

定理7

矩阵经初等变换后，其秩不变。对A每施以一次初等变换所得矩阵的秩与A的秩相同，因而对A施以有限次初等变换后所得矩阵的秩仍然等于A的秩。于是我们得到一个用初等变换求矩阵的秩的方法：

求矩阵的秩的初等变换法

（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（每一非零行的第一个非零元素的下方全是零）
（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元。

行阶梯形矩阵B还称为行最简形矩阵，即阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在的列的其他元素都为0。

对A作一系列初等行变换，将A化为阶梯形矩阵或行最简形，阶梯形矩阵中非零行的行数r即是矩阵A的秩R(A)。

例题解析

例42

求矩阵的秩。

解：阶梯形矩阵中非零行的行数为2，故R(A)=2。

例43

设求矩阵A及矩阵的秩。

解 对B作初等行变换化为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，故从中可同时看出

因此从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应的线性方程组是无解的，因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0=1。

例44

设，，已知，求的值。

解法一 若，则，即所以

解法二 用初等变换求解。

由可知，所得行阶梯形矩阵中只能有两个非零行，第一、二两行已不可能是非零行，故第三行必须全为零，因此可得。

例45

设，已知，求和的值。

解：

例46

设A为n阶非奇异矩阵，B为矩阵。试证：。

证 因为A非奇异，故可表示成若干个初等矩阵之积即A=P1P2…Ps，Pi(i=1,2,…,s)皆为初等矩阵。AB=P1P2…PsB，即AB是B经s次初等变换后得出的，因而R(AB)=R(B)。

总结

（2）初等变换不改变矩阵的秩。