相关系数及相关性分析（数学建模）
相关系数及相关性分析（数学建模）
相关系数
一、皮尔逊（Pearson）相关系数
1. Pearson相关系数使用条件和检验条件
1) 使用和检验条件
我们常说的相关系数指得就是皮尔逊（pearson）相关系数。条件如下：
- 条件一：样本数据必须满足正态分布。
- 条件二：样本数据是连续的且数据之间的差异不能太大（不能包含离群点或异常值）。
- 条件三：每组样本之间相互独立。
- 条件四：皮尔逊相关系数有效的前提是两组数据（两个对象）之间呈线性关系。
2) 散点图检验
使用EXCEL或者SPSS（对象很多）或者matlab绘制散点图来看是否存在线性关系，并看数据是否连续，有无离群点。
3) 正态分布检验
正态分布检验方法包括：
- 雅克-贝拉检验(Jarque-Bera test)
- 夏皮洛-威尔克检验（Shapiro-Wilk test）
- Q-Q图
JB检验：MATLAB中进行JB检验的语法为[h,p] = jbtest(x,alpha)。JB检验是大样本检验（n>30）。
Shapiro-Wilk检验：是小样本检验（3≤n≤50）。在SPSS中的操作步骤为：分析->描述统计->探索->图->含检验的正态图。得到P值，P值<0.05表示拒绝原假设即随机变量不服从正态分布。
Q-Q图：要利用Q-Q图鉴别样本数据是否近似于正态分布,只需看Q-Q图上的点是否近似地在一条直线附近。（要求数据量非常大）MATLAB函数为qqplot(x)，其中x是数据向量。
2. Pearson相关系数如何求？
在MATLAB中，可以使用corrcoef函数来计算：
R = corrcoef(A)：返回 A 的相关系数的矩阵，其中 A 的列表示随机变量（指标），行表示观测值（样本）。R = corrcoef(A,B)：返回两个随机变量 A 和 B （两个向量）之间的相关系数。
3. Pearson相关系数假设性检验（显著性检验）
1）在MATLAB中，可以使用一行代码进行检验：[R,P] = corrcoef(Test)。其中R返回的是相关系数表，P返回的是对应于每个相关系数的p值。p值小于0.05说明在95%置信水平上拒绝原假设即相关系数显著异于0。
2）在SPSS中，也可以生成相关系数表，并且有显著性标记。步骤为：分析->相关->双变量->皮尔逊。
二、斯皮尔曼（Spearman）等级相关系数
Spearman等级相关系数的定义有两种，MATLAB使用的定义是：斯皮尔曼相关系数被定义成等级之间的皮尔逊相关系数。等级按照从小到大排序。
在MATLAB中，可以使用以下函数计算：
corr(X , Y , 'type' , 'Spearman')：计算两个列向量的Spearman等级相关系数。corr(X , 'type' , 'Spearman')：计算X矩阵各列之间的Spearman等级相关系数。
1. Spearman等级相关系数假设性检验（显著性检验）
分为小样本和大样本两种情况：
1）小样本
当样本量n <= 30时，直接查临界值表即可。当相关系数大于临界值说明相关系数显著异于0即显著相关。
2）大样本
在MATLAB中，可以使用函数[R,P]=corr(X, 'type' , 'Spearman')直接给出P值。P值小于0.05则拒绝原假设即 相关系数 和 0 有显著性差异。
三、两种相关系数的选择
如果满足皮尔逊相关系数的使用条件和检验条件，则使用皮尔逊相关系数。如果任何一个条件不满足，则使用斯皮尔曼等级相关系数。另外，两个定序数据之间的相关系数求解也用斯皮尔曼。斯皮尔曼相关系数的适用条件比皮尔逊相关系数要广。定序数据是指反映在某一指标下观测对象的等级、排名、优劣等，可用数字和文字表示，但不能参与运算，所以只能用斯皮尔曼等级相关系数。