多项式的带余除法[科普向]

多项式的带余除法[科普向]

多项式带余除法，又称“长除法”或“大除法”，是一种处理多项式运算的重要方法。本文将从基本概念出发，详细介绍带余除法的原理、操作步骤及其在数学中的多种应用，包括解方程、求函数最值、积分等。

前言

由于笔者尚未具备做视频剪辑的技能以及视频讲解的能力，因此在未来或许会转型之前，还是会保持写专栏的风格，既然是文章那么普遍意义上就没有录视频生动，因此在"不乏枯燥"这一特点上还请各位看官需要些耐心去克服~题外话讲完下面开始正题

正文

所谓带余除法，俗称“长除法”或“大除法”，说的其实是这么一回事。已知两个多项式函数(其中前者次数≥后者)，则一定可以写成如下的形式：
其中余式r(x)的次数比除式g(x)次数低。且商式q(x)和余式r(x)由f(x),g(x)唯一确定。
由于q(x),r(x)的存在性和唯一性需要用第二归纳法证明，感兴趣的网友可查阅高等代数相关书籍，这里就删繁就简主要来介绍其方法和应用
举个例子：已知
，求q(x)和r(x)
也即写成如下形式：
其中余式r(x)的次数比除式g(x)的次数低（此题即r(x)至多为1次多项式）
既然r(x)的次数要低于g(x)的次数，因此r(x)的次数就更加低于q(x)g(x)的次数了，因此q(x)g(x)+r(x)的次数就等于q(x)g(x)的次数。
又因为左边次数为4，因此要求q(x)g(x)次数为4，从而q(x)的次数为4-2=2
那么我们就从最高次项开始，进行待定系数，设
要凑出4次项，需有：
于是
将已知系数的部分拆开移到左边得：
左边展开化简得：
经过这一轮操作，对比发现左边的次数降低了一次。而右边的第一个括号也跟着降低了一次。于是重复该步骤：
要凑出3次项，需有：
于是
将已知系数的部分拆开移到左边得：
左边展开化简得：
可见次数再一次降低~
要凑出2次项，需有：
于是
将已知系数的部分拆开移到左边得：
左边展开化简得：
此时不再有含a的未知数，于是对比系数即可得出含b的未知数
也就得到了所有待定系数
带余除法的竖式计算
纵观上述过程，我们实施的步骤如下：
对q(x)的最高次项着手，不断待定系数+分离已知项进行降次，从而顺次求出了a₂,a₁,a₀
当降次至等式不再含a的未知数时，含b的未知数对比即得出。
我们可以把这一待定系数过程的操作用如下的竖式除法表示（就跟口诀、定则差不多，只是用于包裹内核的一个皮囊罢了）
画两条竖向的分隔线，左边写除式g(x)，中间写被除式f(x)，右边写商式q(x)
ps:对于缺项的情况(即系数有0的情况)个人习惯补上0(比如本题缺x²)，这样方便对齐以免相减时产生错位和遗漏
接下来的步骤就是降次。能使得与g(x)最高次项相乘恰等于f(x)最高次项的就是q(x)最高次项。最高次项2x²写右边，接着拿2x²g(x)后用f(x)相减从而消去最高次项。
接着对得到的3次多项式重复该步骤：
ps:对于右边的书写，这里凑的-x就紧贴着前一项写后边
再重复该步骤：
当中间的次数降低到比g(x)次数低时，带余除法的步骤就完成了。
本题而言这里出现一次项(次数＜g(x)次数)时即完成操作。
此时得到的该多项式即为余式r(x)(此题r(x)=2x+4)，右边的q(x)即为*商式(此题q(x)=2x²-x-3)
以上就是带余除法的原理简析和操作步骤了。原理就是前文提及的待定系数，对比一下前面的待定系数和后面的竖式除法，你会发现他们内在进行的操作步骤是一样的，竖式除法不过是记录这一操作内核的模型。
批注
有关该操作有几个需要了解的点：
(1)带余除法中系数允许复数参与运算（也即系数不限于整数，可扩展到复系数）
例：

两整系数多项式在作带余除法时也可能出现分数
再例如：
还可以处理这种有理系数、无理系数、复系数的多项式除法，只要前者的次数≥后者都可以实施长除法，如上图所示是用MMA处理的几个更一般系数的商式和余式（前面的竖式方法同样适用，只是计算起来稍麻烦就懒得算了，感兴趣的网友可以自行举几个例子进行尝试）
(2)考虑到教材不同，有些教材采用的长除法的形式可能是如下这样（与竖式除法格式相近）

这些记法的内核都是一样的，换了副马甲而已。不过后续会沿用前面的记法（毕竟到了下一篇专栏将综合除法的时候可以起衔接作用）
(3)如果对此操作较为熟练，可以省略掉字母x而只留下数字运算（因为字母x更多的像是个“陪衬”，其次数可以由对应的列反应）
类似的抽象化例子如：解线性方程组中抽离未知数并引入矩阵的初等行变换
以第一题为例，可简化为：
上图中最左边是"2"要改为"1"，笔误聊~
毕竟当我们把多项式按降幂排好后，x的次数就与那一列的列数相对应了（换而言之所在的列可以反应对应该列的次数：最右一列次数为0，往左递增）
应用
接下来就是最具实用价值的应用环节啦！
例(1)：已知x²+x-1=0，求x⁴+3x的值
范围：初中
取f(x)=x⁴+3x,g(x)=x²+x-1，作带余除法：

这样处理的目的是什么？
我们知道，作带余除法，其实就是写成f(x)=q(x)g(x)+r(x)的形式，
而已知条件说g(x)=0，那么就有f(x)=r(x)了
即
x⁴+3x=(x²-x+2)(x²+x-1)+2
已知x²+x-1=0，则有x⁴+3x=2
这也就得到了本题的答案
因此，作带余除法的目的，就是把高次项尽可能地塞到q(x)里面，而q(x)是与g(x)相乘的，又由g(x)=0，因此前面一项等于0，这样一来最终得到的余式就是最终结果了。
ps：这么看来采用带余除法处理这些高次的设而不求的方程题时比直接代入降次相对更有条理些。多拿几道这样的题练一练你会发现这些题用带余除法算出的余式都是常数而且就是答案哦(这或许就是直击命题套路的解法啦)
例(2)：解方程x³-2x+1=0
范围：这个范围比较笼统，中学和大学都可能遇到
首先，注意到x=1是方程的根，这意味着拿左边与x-1作带余除法，得到的余式为0。换而言之(x-1)是一个因式，余式考虑带余除法：
从而有：x³-2x+1=(x²+x-1)(x-1)
此处利用带余除法便完成了因式分解。
接下来只需单独求解右边这两个多项式对应的根即可：
从而求得原方程的所有解
从上述例题可知，当r(x)=0时，意味着f(x)被分解成了q(x)和g(x)两个较为低次的多项式，这对于因式分解和解方程有着重要的作用。
另外，前文提及的“瞪眼法”其实也是有迹可循的，有空会在后面更新一期“有理根定理”介绍一种有目标的试根方法，当然本篇文章也算是一点铺垫了。
例(3)：求
的最小值
范围：高中
此题可以用朴素的求导，考虑到这也是均值不等式的一道变式题，于是这里就考虑用凑均值不等式解决
记分子为f(x),分母为g(x)，作带余除法得：
于是有：
当且仅当
即
时取等
拓展：这种二次比二次的形式都可以考虑此方法哦
附加一道练习题：
求
的最大值
解答：先利用带余除法得：
于是
再考虑将分子除到分母，凑成对勾函数的形式
再用一次带余除法得：
于是
当且仅当
，即
时取等
于是我们用两次带余除法强凑均值也可以把二次比二次类型的函数最值给凑出来
例(4)：求不定积分
范围：大学
有理分式的积分题，有万能的流程：
(1)若为假分式（即分子次数大于等于分母），则通过带余除法将假分式分解为多项式+真分式
ps:例(3)的操作就是其中一个例子
(2)对真分式作部分分式
回到本题，带余除法如下：
于是就有：
从而化成了一个多项式+一个真分式形式
接下来再对真分式部分分式
部分分式用的就是书上的待定系数法，与带余除法无关了，不过为了完整性还是把过程写完吧~
因此分解得：
于是设：
赋值x=1,x=2联立方程组可解得：
即得：
带余除法是处理有理函数积分的其中一环，更具体的处理流程可参考：
高数新手必点技能：有理函数积分
例[4]的应用，说明了带余除法的一个重要应用就是将假分式化为多项式+真分式。
后期预备更新：综合除法，有理根定理（其中有理根定理对于多项式试根有重要的立足作用哦），敬请期待~