一次函数详解：定义、性质与重要定理

一次函数详解：定义、性质与重要定理

一次函数是初中数学中一个非常基础且重要的概念，它不仅为后续学习更复杂的函数打下基础，还在实际生活中有着广泛的应用。本文将从一次函数的定义出发，详细介绍其单调性、图像特征以及一个重要的几何性质。

一次函数是初中阶段最基本的函数之一，一般式为{\displaystyle y=kx+b(k\neq{0})}

，其中k{\displaystyle k}
称为斜率，b{\displaystyle b}
称为截距，定义域和值域均为R{\displaystyle \R}
.

单调性

显然k>0{\displaystyle k>0}
时函数单调递增，反之亦然。

图像

一次函数的图像是平面直角坐标系上不平行于y{\displaystyle y}
轴的一条直线。特别的，b=0{\displaystyle b=0}
时，图像是过原点的一条直线，该函数变为正比例函数。
这条直线所经过的象限具体由k{\displaystyle k}
和b{\displaystyle b}
的正负性决定。以下结论读者自证不难：
b > 0 b < 0
k > 0 过一、二、三象限 过一、三、四象限
k < 0 过一、二、四象限 过二、三、四象限

二级结论

“直线{\displaystyle \alpha:y_1=k_1x+b_1}
与{\displaystyle \beta:y_2=k_2x+b_2}
互相垂直”是{\displaystyle k_1k_2=-1}
”的充要条件.
证明：

• 先证充分性。不妨令{\displaystyle b_1=b_2=0}
  （实际上b{\displaystyle b}
  不影响直线倾斜程度，化为过原点的正比例函数图像更方便证明）且k1<0{\displaystyle k_1<0}
• 初中解法：如图，在α{\displaystyle \alpha}
  上取点{\displaystyle A(a,k_1a)}
  ，在β{\displaystyle \beta}
  上取点{\displaystyle B(|k_1a|,|k_1k_2a|)}
• 并分别向x{\displaystyle x}
  轴作垂线，垂足分别为C{\displaystyle C}
  和D{\displaystyle D}
• 由三垂直模型（即构造AAS{\displaystyle AAS}
  全等）得{\displaystyle OC=BD}
  ，即{\displaystyle |a|=|k_1k_2a|}
  ，得{\displaystyle k_1k_2=-1}
  （注意符号判断！）
• 高中解法：在α,β{\displaystyle \alpha, \beta}
  上分别取非零向量α1(x1,y1),β1(x2,y2){\displaystyle \alpha_1 (x_1,y_1), \beta_1 (x_2,y_2)}
• 由α1⋅β1=x1x2+y1y2=x1x2(k1k2+1)=0
  ，得{\displaystyle k_1k_2=-1}
  .
• 再证必要性。初高中两种方法同理，请读者自行证明。综上所述，原命题成立。