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微分的定义与几何意义

创作时间:

作者:

@小白创作中心

微分的定义与几何意义

引用

来源

https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?catid=6&kid=297

微分的定义与几何意义

我们先来试着计算这样的两组数：

$$
\Delta y=\sin(1+\Delta x)-\sin 1, \quad \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001,
$$
$$
dy=(\sin x)'|_{x=1} \cdot \Delta x, \Delta x=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001.
$$

通过计算可以发现什么规律呢？

（1）计算 $dy$ 比计算 $\Delta y$ 容易得多；

(2) 当 $\Delta x$ 越来越小时， $dy$ 和 $\Delta y$ 越接近.

所以，有些时候，我们可以用 $dy$ 来近似替代 $\Delta y$ ，因为它极容易计算，误差又小.

在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题: 当自变量 $x$ 有微小变化 $\Delta x$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的微小改变量

$$
\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
$$

这个问题初看起来似平只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数 $f(x)$ ，差值 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是: 我们设法将 $\Delta y$ 示成 $\Delta x$ 的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.

例1 一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ ，问: 此薄片的面积改变了多少?

解设此薄片的边长为 $x_0$ ，面积为 $A$ ，则 $A=x_0^2$ ，薄片受温度变化的影响，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 取得增量 $\Delta x$ 时，面积的改变量可以看成是因变量 $A$ 取得相应的增量 $\Delta A$ ，即

$$
\Delta A=(x_0+\Delta x)^2-x_0^2=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2.
$$

从上式可以看出， $\Delta A$ 由两部分组成：第一部分 $2x_0\Delta x$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，即图2-12中灰色的两个矩形面积之和，而第二部分 $(\Delta x)^2$ 在图中是黑色的小正方形面积. 当 $\Delta x\to 0$ 时，第二部分 $(\Delta x)^2$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，即 $(\Delta x)^2=o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$. 由此可见，如果边长改变很微小，即 $|\Delta x|$ 很小时，面积的改变量 $\Delta A$ 可近似地用第一部分来代替.

抛开上述例子的实际背景，即得到微分的定义.

定义设函数 $f(x)$ 在某区间 $I$ 内有定义， $x_0，x_0+\Delta x\in I$ 如果函数的增 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可表示成

$$
\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)
$$

其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数，而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是可微的，而 $A\Delta x$ 叫作函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy|{x=x_0}$ ，即 $dy|{x=x_0}=A\Delta x$.

定理函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.

证明设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微，则有 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$.

当 $\Delta xe 0$ 时， $\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ ，因此

$$
\frac{dy}{dx}|{x=x_0}=\lim{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\left[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right]=A,
$$

即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.

定理函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.

反之，若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则有 $\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在。因此 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}+\alpha$ ，其中 $\lim_{\Delta x\to 0}\alpha =0$ ，即

$$
\Delta y=\frac{dy}{dx}\cdot \Delta x+\alpha \cdot \Delta x.
$$

由 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\alpha \Delta x}{\Delta x}=0$ ，知 $\alpha \Delta x=o(\Delta x)$ ，即 $\Delta y=\frac{dy}{dx}\cdot \Delta x+o(\Delta x)$ ，

即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微.

由上述证明可知，若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微，其微分

$$
dy|_{xx{x}_0}=A\Delta x=f'(x_0)\Delta x.
$$

例2 设 $y=x^2$ ，求 (1) $dy|{x=x_0}$ （2 ) $dy|{x=1}$ 及 $dy|_{x=0.01}$.

解 (1) $dy|{x=x_0}={{(x^2)'}|{x=x_0}}\Delta x={(2x)|_{x=x_0}}\Delta x=2x_0\Delta x$

(2) $dy|{x=1}=2\Delta x,{\phantom{\rule{1em}{0ex}}dy|{x=0.1}=0.02\Delta x}$.

例 3 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 时， $\Delta x$ 分别等于 $0.01$ 和 $0.0001$ 时的增量与微分.

解当 $x=1$ ，时 $\Delta x=0.01$ ，

$$
\begin{array}{rl}
& \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.01)^3-1^3=1.030301-1=0.030301;\
& dy|{x=1}={3x^2\Delta x|{x=1,\Delta x=0.01}=3×0.01=0.03};
\end{array}
$$

当 $x=1,\Delta x=0.0001$ 时，

$$
\begin{array}{rl}
& \Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=(1.0001)^3-1^3=1.000300030001-1=0.000300030001\
& dy|{x=1}={3x^2\Delta x|{x=1,\Delta x=0.0001}=3×0.0001=0.0003}
\end{array}
$$

通过计算可以发现，

当 $\Delta x=0.01$ 时， $\Delta y-dy=0.0003$ ；当 $\Delta x=0.0001$ 时，

$\Delta y-dy=0.000000030001$. 这时，用 $dy$ 的值近似替代 $\Delta y$ 的值，误差是非常小的.

微分的几何意义

在曲线 $y=f(x)$ 上取相邻的两点 $M_1(x,y)$ 和 $M_2(x+\Delta x,y+\Delta y)$ ，过点 $M_1$ 作曲线的切线 $M_1T$ ，设 $M_1T$ 的倾角为 $\alpha$ ，则 $M_1T$ 的斜率为 $\tan\alpha =f'(x)$. 从图2-13可知

$$
\begin{array}{c}
M_1N=\Delta x, NM_2=\Delta y,\
NT=M_1N\cdot \tan\alpha =f'(x)\Delta x=dy.
\end{array}
$$