十字相乘法解一元二次方程题目及答案
十字相乘法解一元二次方程题目及答案
十字相乘法是一种用于分解二次三项式和解一元二次方程的数学方法。这种方法通过将二次项系数、常数项和一次项系数进行巧妙的组合，快速找到因式分解的途径。下面详细介绍十字相乘法的原理、步骤及其应用。
十字相乘法的基本原理
- 方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
- 用途：
- 用十字相乘法来分解因式。
- 用十字相乘法来解一元二次方程。
- 优缺点：
- 优点：解题速度快，节约时间，算量不大，不容易出错。
- 缺点：并非每道题都适用，有些题目用其他方法可能更简单。
- 适用范围：只适用于二次三项式类型的题目。
十字相乘法解题实例
简单题目
例1 把(m^2+4m-12)分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1。当-12分成-2×6时，才符合本题。
解：因为
1 -2
1 ╳ 6
所以 (m^2+4m-12=(m-2)(m+6))
例2 把(5x^2+6x-8)分解因式
分析：本题中的5可分为1×5，-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题。
解：因为
1 2
5 ╳ -4
所以 (5x^2+6x-8=(x+2)(5x-4))
例3 解方程(x^2-8x+15=0)
分析：把(x^2-8x+15)看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为
1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形为 ((x-3)(x-5)=0)
所以 (x_1=3, x_2=5)
例4 解方程 (6x^2-5x-25=0)
分析：把(6x^2-5x-25)看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解：因为
2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可变形成 ((2x-5)(3x+5)=0)
所以 (x_1=\frac{5}{2}, x_2=-\frac{5}{3})
较难的题目
例5 把(14x^2-67xy+18y^2)分解因式
分析：把(14x^2-67xy+18y^2)看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, (18y^2)可分为(y.18y , 2y.9y , 3y.6y)
解：因为
2 -9y
7 ╳ -2y
所以 (14x^2-67xy+18y^2=(2x-9y)(7x-2y))
例6 把(10x^2-27xy-28y^2-x+25y-3)分解因式
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法1：(10x^2-27xy-28y^2-x+25y-3 =10x^2-(27y+1)x -(28y^2-25y+3))
(4y -3)
(7y ╳ -1)
(=10x^2-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1))
([2x -(7y -1)][5x +(4y -3)])
(2 -(7y – 1))
(5 ╳ 4y - 3)
(=(2x -7y +1)(5x +4y -3))
说明：在本题中先把(28y^2-25y+3)用十字相乘法分解为((4y-3)(7y -1))，再用十字相乘法把(10x^2-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1))分解为([2x -(7y -1)][5x +(4y -3)])
解法2：(10x^2-27xy-28y^2-x+25y-3 =（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3)
(2 -7y)
([（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3])
(5 ╳ 4y)
(=（2x -7y+1）（5x -4y -3）)
(2 x -7y 1)
(5 x - 4y ╳ -3)
说明:在本题中先把(10x^2-27xy-28y^2)用十字相乘法分解为((2x -7y)(5x +4y)),再把((2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3)用十字相乘法分解为([（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3]).
例7：解关于x方程：(x^2- 3ax + 2a^2–ab -b^2=0)
分析：(2a^2–ab-b^2)可以用十字相乘法进行因式分解
解：(x^2- 3ax + 2a^2–ab -b^2=0)
(x^2- 3ax +（2a^2–ab - b^2）=0)
(x^2- 3ax +（2a+b）（a-b）=0)
(1 -b)
(2 ╳ +b)
([x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0)
(1 -（2a+b）)
(1 ╳ -（a-b）)
所以 (x_1=2a+b, x_2=a-b)
二次函数的交点式
两种相关联的变量之间的二次函数的关系，可以用三种不同形式的解析式表示：一般式、顶点式、交点式
交点式． 利用配方法，把二次函数的一般式变形为
(Y=a[(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2])
应用平方差公式对右端进行因式分解，得
(Y=a[x+b/2a+√b^2-4ac/2a][x+b/2a-√b^2-4ac/2a])
(=a[x-(-b-√b^2-4ac)/2a][x-(-b+√b^2-4ac)/2a])
因为一元二次方程(ax^2+bx+c=0)的两根分别为(x_1，2=(-b±√b^2-4ac)/2a)
所以以上式可写成(y=a(x-x_1)(x-x_2),)其中(x_1，x_2)是方程(ax^2+bx+c=0)的两个根
因为(x_1，x_2)恰为此函数图象与x轴两交点((x_1，0)，（x_2，0）)的横坐标，故我们把函数(y=a(x-x_1)(x-x_2))叫做函数的交点式．
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便．
二次函数的交点式还可利用下列变形方法求得：设方程(ax^2+bx+c=0)的两根分别为(x_1，x_2)
根据根与系数的关系(x_1+x_2=-b/a，x_1x_2=c/a，)有(b/a=-(x_1+x_2),a/c=x_1x_2)
所以(y=ax^2+bx+c=a[x^2+b/a*x+c/a])
(=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]=a(x-x_1)(x-x_2))。