函数的可导性与连续性之间的关系
函数的可导性与连续性之间的关系
函数的可导性和连续性是微积分中的两个核心概念。本文将从包含绝对值的函数的极限、导数不存在的情况以及可导性和连续性的关系三个方面，深入探讨这两个概念之间的联系。
1. 包含绝对值的函数的极限
有时我们需要处理包含绝对值的函数。考虑以下极限：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{|x|}{x}
$$
为了回答这个问题，我们设 $f(x) = |x| / x$。首先，需要注意的是，0不能在函数f的定义域中，因为如果0在其定义域中，则分母将会是0。如果x是任意的正数，那么$f(x) = 1$。如果x为负，那么$|x| = -x$，所以$f(x) = -x/x = -1$。因此，对于$f(x) = |x|/x$，如果$x > 0$，$f(x) = 1$；如果$x < 0$，$f(x) = -1$。
对于左极限，需要从左侧接近$x = 0$：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{|x|}{x} = -1
$$
对于右极限，需要从右侧接近$x = 0$：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{|x|}{x} = 1
$$
由于左极限和右极限不相等，双侧极限不存在：
$$
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{|x|}{x} \text{DNE (does not exist)}
$$
当$x > -2$时，$|x + 2|/(x + 2) = 1$；当$x < -2$时，$|x + 2|/(x + 2) = -1$。$y = |x + 2|/(x + 2)$的图像是$y = |x|/x$的图像向左平移两个单位得到的。
$$
\lim_{x \rightarrow (-2)^{-}}\frac{|x + 2|}{x + 2}
$$
左极限等于$-1$，右极限是$1$，因此双侧极限不存在。
2. 何时导数不存在
$f(x) = |x|$的图像在原点处有一个尖点，在$x = 0$处导数不存在。
$$
f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{|x + h| - |x|}{h}
$$
我们感兴趣的是当$x = 0$时会发生什么，所以让我们用0替换上述等式链中的x。
$$
f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{|0 + h| - |0|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{|h|}{h}
$$
这意味着$f'(0)$的值是未定义的：0不在$f'$的定义域中。如果将它由一个双侧极限改为单侧极限，那么以上极限存在。特别是，右极限是1，左极限是-1。这促使我们引入右导数和左导数的概念，它们分别由以下公式定义：
$$
\lim_{h \rightarrow 0^{+}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \ \text{和} \ \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}
$$
跟在极限的情况一样，如果左导数和右导数存在且相等，那么实际的导数存在且有相同的值。如果导数存在，那么左右导数都存在且都等于导数值。
如果$f(x) = |x|$，那么在$x = 0$处其右导数为1，左导数为-1。
当从原点出发沿着该曲线向右移动时，它的斜率是1(斜率始终为1，即如果$x > 0$，$f'(x) = 1$)。当从原点出发沿着该曲线向左移动时，它的斜率是-1(如果$x < 0$，$f'(x) = -1$)。由于左侧斜率不等于右侧斜率，所以在$x = 0$处导数不存在。
在其定义域内不是处处可导的连续函数，除了一个小点外，它仍然是可导的。
存在不可导的连续函数。
3. 可导性和连续性
每一个可导函数也是连续的。
如果函数$f$在$x$可导，那么它在$x$也连续。
如果函数$f$在$x$连续，但函数在$x$不一定可导。连续是可导的必要条件，但不是充分条件。
如果一个函数$f$在$x$上可导，那么它在$x$上连续。
$\sin(x)$作为$x$的函数是可导的，这将自动暗示它在$x$处也是连续的。
要证明$f$在$x$上连续，需要证明：
$$
\lim_{u \rightarrow x}f(u) = f(x)
$$
这个方程只有当等号两边同时存在时才成立。
在这种情况下，$u = x + h$，并且当$u \rightarrow x$时，$h \rightarrow 0$。
所以上述方程可以替换为：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}f(x + h) = f(x)
$$
我们需要证明等号两边都存在且相等。
我们知道$f$在$x$可导；这意味着$f'(x)$存在，所以根据$f'$的定义，极限：
$$
f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}
$$
存在。
首先注意到$f(x)$包含在这个公式中，所以它一定存在，否则公式就无从谈起。
技巧是从另一个极限开始：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}(f(x + h) - f(x)) = \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times h)
$$
我们可以通过将其分解为两个因子来计算这个极限：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times h) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times \lim_{h \rightarrow 0} h = f'(x) \times 0 = 0
$$
这完全可行，因为所有涉及的极限都存在。这就是你需要$f'(x)$存在的地方——否则它就不会起作用。
$$
\lim_{h \rightarrow 0}(f(x + h) - f(x)) = \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \times h) = 0
$$
$f(x)$的值根本不依赖于极限，所以我们可以将其提出来：
$$
(\lim_{h \rightarrow 0}f(x + h)) - f(x) = 0
$$
现在我们只需要将$f(x)$加到等号两边：
$$
\lim_{h \rightarrow 0}f(x + h) = f(x)
$$
特别地，左边的极限存在且等式成立。所以，我们证明了一个很好的结果：可导函数自动连续。但是，记住，连续函数并不总是可导的！
等号左边的极限存在并且等式成立。可导函数必连续，连续函数并不总是可导的。