高中圆的标准方程和一般方程

高中圆的标准方程和一般方程

圆的方程是高中数学中的一个重要知识点，包括标准方程和一般方程两种形式。本文将详细介绍这两种方程的定义、推导过程和特点，并给出一些相关的扩展内容。

圆的标准方程

圆的标准方程是描述圆在平面直角坐标系中位置和大小的数学表达式。其一般形式为：

其中，(a, b) 是圆心的坐标，R 是圆的半径。

标准方程的推导

圆的大小由其半径长度决定，而圆心的位置则确定了圆在平面上的具体位置。如果已知圆的半径长 R 和圆心 A 的坐标 (a, b)，那么圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定。根据图形的几何尺寸与坐标的联系，可以得出圆的标准方程：

当圆的中心 A 与原点重合时，即原点为中心时，即 a=b=0，圆的方程简化为：

圆的一般方程

圆的标准方程是一个关于 x 和 y 的二次方程。将它展开并按 x、y 的降幂排列，得到：

设 D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：

任意一个圆的方程都可以写成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x²项和y²项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。

圆的其他形式

圆的端点式

若已知两点 A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段 AB 为直径的圆的方程为：

圆的切线方程

圆的离心率 e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是 r。

经过圆 x²+y²=r² 上一点 M（a0，b0）的切线方程为：

在圆（x²+y²=r²）外一点 M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为 A,B，则 A,B 两点所在直线的方程也为：