约翰·卡尔·弗里德里希·高斯：数学王子的传奇人生

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯：数学王子的传奇人生

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）是18世纪末至19世纪初最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”。他在数学、物理、天文、大地测量等领域做出了开创性的贡献，其成就对后世科学的发展产生了深远影响。

人物生平

求学阶段

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，1777年4月30日出生在布伦瑞克城的一个引水站站长的家里，家境并不十分宽裕。尚在孩提之时，他就表现出非凡的数学才能，在上小学时，他的计算才能就引起了社会各界人士的注意，该计算方式后被称为高斯定理。[6][9]高斯14岁时被引荐给不伦瑞克城大公卡尔·威廉·费尔南多，大公成为他长期的保护人和庇护者。[9]

到1792年，年仅15岁的高斯进入布朗斯威克·卡洛琳学院，他发明两种方法将一个数的二次方根精确计算至小数点后50位，他研究了欧几里德平行公理不成立时的几何体系，并确定在这个非欧几何体系中成立的众多性质；发明了最小二乘法；除此以外，高斯还发现了完全平方数是指可以写成二次方幂形式的整数。[5]

1795年，高斯进入哥廷根大学，次年17岁的他证明了可以使用直尺和圆规画出正17边形——拥有17条相等边和17个相等内角的多边形；他证明了割圆多项式的根，并根据相关结论得到一个一般的几何结果。高斯把这个发现当作自己最伟大的成就之一，并要求在自己的墓碑上刻上正17边形。[3][5]

1798年，高斯转到赫尔姆施泰特大学，于一年后完成学业并获得数学博士学位，他博士论文的题目是《关于任何单变量有理整函数都可以分解为一阶或二阶实因子的新证明》，其中他首次完整地证明了代数学基本定理。[5]

工作及学术阶段

1801年，他出版《算术研究》，书中用7章的篇幅系统地总结了前人的成果；为该领域内一些最困难的问题给出自己的解答；并提出新的概念和挑战，这为以后的数论家指明了研究的方向。其中还包括二次型、同余整数、质数分布和模方程方面的新内容。此外，还有正17边形的构造、二次互反律、算术基本定理和代数基本定理的证明。[5]同年，高斯利用自己发明的最小二乘法，仅凭毕亚齐观测结果中的3个位置数据就重现了谷神星轨道的精确方程。高斯将结果写成论文《谷神星轨道的倾斜》。天文家们在12月7日重新观测到谷神星，结果与高斯预测的位置完全一致。这个成就为高斯建立起作为应用数学家的声誉。[5]

1809年，高斯出版天文学理论《圆锥截面内的绕日天体运动理论》，共有两卷。该书一经出版，就被众多争论围绕。在此之前3年，勒让德发表著作《确定彗星轨道的新方法》。在附录的一节中，勒让德给出最小二乘法，他指责高斯偷窃了他的思想并据为己有。此后许多年，勒让德一直苦苦争取大家承认他对这个成果的优先权和最小二乘法的发现权。高斯则坚称，他在大学时期就发明这个技术并用来确定谷神星的轨道，但是他拒绝发表正式文章来支持他的声明。[5]

1807年，高斯携全家迁往哥廷根，被聘为哥廷根天文台台长，1810年24岁的高斯被接纳为彼得堡科学院的通讯院士。[6]1814年，为了配置最好的望远镜设备，37岁的高斯多方奔走，1816年，远赴巴伐利亚会见光学仪器制造商，才买到中意的装备，同年他被聘为哥廷根大学常任教授，主讲天文学，偶尔讲数学课。[6]

1818年，高斯已经发现了许多非欧几何学的定理，并对非欧几何的观念也已经很清楚。[6]从1818年至1828年，高斯把精力主要集中在研究测地学以及微分几何学背后隐藏的数学原理上；1822年高斯在丹麦哥本哈根研究院主办的竞赛中获得头奖，他的获奖论文是《问题的一般解法:将给定曲面上的图像在另一曲面上重新表述并保持所有细节与原图像相似》；他在微分几何方面的主要工作是1827年的论文《弯曲表面的一般研究》，发表在《述评》杂志。[5]

1828-1840年，在对汉诺威地区进行大地测量和继续管理哥廷根天文台的同时，高斯主要研究了磁学和电学理论。1828年，高斯参加在柏林举办的一个为期3周的科学会议“自然研究者会议”，在会上他结识了年轻的德国物理学家威廉·韦伯，韦伯当时正在进行电磁学实验。两人开始合作，并在随后7年里产生大量成果。他们在哥廷根大学共同设计并建造一座实验室来进行他们的实验，整个实验室完全采用非磁性材料建造。1833年，两人发明电磁电报装置，并设计了一组编码，由此两人可以互相发送信息，传输速度为每分钟8个单词。[5]

1832年提出利用三个力学量：长度、质量、时间(长度用毫米，质量用毫克，时间用秒)量度非力学量，建立了绝对单位制，最早在磁学领域提出绝对测量原理。[8]1835年，高斯在电学和磁学领域做出最重大的贡献，他提出被称为高斯定律的原理。[5]

1839年在《距离平方反比的作用引力与斥力的一般理论》中阐述势理论的原则，证明了一系列定理，如高斯定理，并研究了将其用于电磁现象的可能性。1840年在《屈光研究》中，详尽讨论了近轴光线在复杂的光学系统中的成像，建立高斯光学。1845年提出电磁相互作用以有限速度传播的思想。[8]

晚年的高斯采取更多种方式服务于他在哥廷根大学的团体，他指导多个博士生进行数学研究，其中包括理查德·戴德金和本哈德·黎曼，这两人最后都成长为有成就的数学家。[5]

约翰· 卡尔· 弗里德里希· 高斯

人物逝世

1855年2月23日，高斯在哥廷根的家中无疾而终，享年77岁。[5][4][10]

个人生活

高斯在1805年娶乔安·欧索美为妻，有了两个孩子，她死于生产第三个孩子，高斯说“与妻子共同生活的五年是天堂般的日子”。[10]后来高斯又娶了第二任妻子敏娜·华德，尽管她身体不好，但他们还是再有了三个孩子，高斯和一个女儿相处得十分好，但他和儿子们的关系始终不太好，他也不愿让他们进入科学界，因为高斯怕他们会是二流的科学家。许多认识他的人都认为他不擅言谈且感情内缄，尽管他保守且有着反民主的政治立场，但却不信仰宗教。[10]

主要成就

约翰· 卡尔· 弗里德里希· 高斯在数学、物理、天文、大地测量等领域上都做出了巨大的贡献，享有 “数学王子” 的美名， 与阿基米德、牛顿、 欧拉齐名， 被称为历史上最伟大的数学家之一。[11]他证明了可以使用直尺和圆规画出正17边形，发明了最小二乘法、二次型、同余整数、质数分布和模方程方面的新内容。此外，还有二次互反律、算术基本定理和代数基本定理的证明。[5]

数学领域

18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。[3]

在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。 [3]

高斯计算的谷神星轨迹，高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个实数或者复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。[3]

物理领域

高斯定律的原理。这个定律指出，通过任意封闭曲面的电流净值，正比于该曲面包围的电荷总值，这个成果直到高斯去世后才出版。麦克斯韦方程组用4个方程描述统一电磁场理论，其中一个就是高斯定律。为了纪念这一贡献的重要性，科学家们将“高斯”作为厘米-克-秒单位制中的磁场单位。[5]

天文领域

高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，结算出天体的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现，但他因病耽误了观测，失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中“丰收女神”（Ceres)来命名它，即谷神星（Planetoiden Ceres)，并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前的三次观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。奥地利天文学家 Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著作《天体运动论》。[3]

地球磁场概念图

大地测量

高斯设计的汉诺威大地测量的三角网为了获知任意一年中复活节的日期，高斯推导了复活节日期的计算公式。[3]

在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法，显著的提高了测量的精度。出于对实际应用的兴趣，他发明了日光反射仪，可以将光束反射至大约450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进，试制成功被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。[3]

日光反射仪

其他领域

除了以上，高斯还在其他科学领域做出贡献。他发展了研究液体流动的数学技巧，他还在研究声音的声学方面进行基础研究。光学方面，高斯发表诸多论文，讲述多透镜的设计问题。他还发明了名为高斯目镜的透镜组，这个仪器至今仍在使用。[5]

主要著作和论文

高斯一生共发表著作323篇，提出科学创见404项，完成重大发明4项。[8]

科研著作

学术论文

荣誉奖项

个人轶事

据说高斯在两岁时就发现了父亲账簿上的一处错误。9岁那年，他在公立小学念书，一次，老师为了让学生们有事可干，让他们从1到100把这些整数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的课桌上。当所有的石板都被翻过时，这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确的答案：5050，但是没有演算过程。事实上，高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，等等，共50对数，从而答案是50×101或5050。[13]

一次，高斯的妻子得了重病，这时他正在钻研一个问题，家里人告诉他夫人病得愈来愈重了，他听到后，仍在继续工作，不一会儿，又来人通知他：“夫人的病很重，请你立即回去。”他回答说：“我就去，”说罢，仍坐在那里继续工作；家里又再次来人说“夫人快要断气了”，他这才拾起头，但仍没离开他的座椅：“叫她等一下，我一定去。”[4]

人物评价

如果 18 世纪的数学家们是一系列的崇山峻岭，那么最令人高山仰止的巅峰即是高斯，一个使众多科学领域焕发新的活力的先驱者。（克莱因评）[14]

高斯对于近代物理学的发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论），其重要性是超越一切，无与伦比的。（爱因斯坦评） [3]

在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现，如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能比当今数学还要先进半个世纪或更多的时间。（贝尔评）[3]

后世纪念

从1989年直到2001年年底，他的肖像和他所写的正态分布曲线与一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德国10马克的钞票中。[3]

德国10马克的钞票

另一方面，在汉诺威有和他有关的鸡血石以及三角测量方法。在德国也发行了三种用以表彰高斯的邮票。第一种邮票(第725号)发行于1955年−他死后的第100周年；另外两种邮票(第1246号.第1811号)发行于1977年，他出生的第200周年。[3]

高斯邮票

为了纪念高斯，德国数学家联合会和国际数学联盟共同设立了“高斯奖”，主要用于奖励在数学之外的应用领域，如经济、技术乃至日常生活中有深刻影响的数学家。获奖者可获得一枚绘有高斯肖像的奖章和一笔奖金。[15]

高斯奖章