等差数列的概念、通项公式及前n项和公式详解
等差数列的概念、通项公式及前n项和公式详解
本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。
我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第九章数列
§9-2等差数列
1、等差数列的概念
我们来考察下面这两个数列：
(1) 3，4，5，6，7，8，9；
(2) 1，－1，－3，－5，－7，…，3－2n，… 。
这里可以看出它们有一个共同的特点，就是在每一个数列里，从第2项开始，后面一项减去它前面一项的差是一个常数，这个常数在数列(1)里是 1，而在数列(2)里是－2 。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。就是：
如果一个数列，从第 2 项起，每一项减去它的前面一项所得的差都等于某一个常数，那末这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 来表示。例如，在(1)里，d＝1；在(2)里 d＝－2 。
注：很明显，常数列可以看做是公差等于 0 的等差数列。
2、等差数列的通项公式
现在我们来研究，已经知道了一个数列是等差数列，并且知道了它的第 1 项 a₁ 和公差 d，怎样找出它的通项公式？先看下面的例。
例1.已知一个等差数列的第一项是 1，公差是 √2，求它的通项公式。
解：根据等差数列的定义，我们知道，这个数列开头几项应该是
这里，我们就可以归纳出一个一般的规律，就是：从第 2 项起，每一项都等于第 1 项加上公差的 (n－1) 倍，也就是 an＝1＋(n－1)√2 。
当 n＝1 的时候，有 a₁＝1＋(1－1)√2＝1 。所以这个公式也包括了第 1 项，因此它就是所求的通项公式。
一般，如果等差数列的第1项是 a₁，公差是 d，这个数列就应该是：a₁，a₁＋d，a₁＋2d，…，a₁＋(n－1)d，… 这就是说：第1项是 a₁，公差是 d 的等差数列的通项公式是
注：利用这个公式，在 a₁，d，n，an这四个量中，如果已知其中的 3 个，就可求出另外的一个。
例2.求下表中的未知数：
例3.已知等差数列的第 3 项是 9，第 9 项是 12，求它的第 12 项。
分析：要先求出 a₁ 和 d 。为此只需根据已知条件，利用公式(Ⅰ)列出两个关于 a₁ 和 n 的方程。解这个方程组，求出 a₁ 和 d，再代公式。
解：由 a₃＝9，a₉＝12 。可列出方程组
解这个方程组得 d＝1/2，a₁＝8 。
∴
。
例4.安装在一个公共轴上的 5 个滑轮的直径成等差数列。已知最大和最小的滑轮的直径分别是 216 毫米和 120 毫米，求中间三个滑轮的直径。
分析：这个问题就是要在 216 和 120 之间插入 3 个数，使它们成等差数列，其中 a₁＝216，a₅＝120 。因此只需先应用公式 an＝a₁＋(n－1)d 求出 d 。
解：
设中间三个滑轮的直径分别是 a₂，a₃，a₄（毫米）。
那末根据题意，216，a₂，a₃，a₄，120 成等差数列。
因此 216＋(5－1)d＝120 。
解这个方程得 d＝－24 。
由此得 a₂＝192，a₃＝168，a₄＝144 。
∴ 中间的三个滑轮的直径顺次是 192毫米，168毫米，144毫米。
习题9-2(1)
1、求下面这些等差数列的第n项：
2、求下表中的未知数：
3、
(1) 在 1 和－1 之间插入 4 个数，使它们和原来的两个数成等差数列，求这4个数；
(2) 在 a 和 b 之间插入 p 个数，使它们和原来的两个数成等差数列。写出这个等差数列的前面三项。
4、
(1) 等差数列的第 4 项是 4，第 8 项是－4，求它的第 12 项；
(2) 等差数列的第 3 项是 9，第 9 项是 3，求它的第 12 项；
(3) 等差数列的第 p 项是 q，第 q 项是 p，求它的第 p＋q 项。
5、
(1) 等差数列的第 2 项与第 4 项的和是 16，第 1 项与第 5 项的积是 28，求它的第 3 项；
(2) 等差数列的第 1 项与第 7 项的积是 28，第 2 项与第 6 项的积是 48，求它的第 3，4，5 项。
3、等差数列前 n 项的和的公式
我们来解下面的问题：把木材堆成图9·5所示的形状。这里最上边的一层有 4 根木材，下面每一层比上一层多 1 根，一共有 6 层。问这堆木材总共有几根？
这个问题，就是要求下面这 6 个数：4，5，6，7，8，9 的和：s＝4＋5＋6＋7＋8＋9 。
直接做加法，得到和是 39 。所以知道这堆木材总共有 39 根。
但是，当加数很多的时候，要把各个加数一个个加起来是很麻烦的。我们现在来考虑，能不能找到一个比较简单的办法来算出这个结果。
我们仔细观察这里的一连串的数，可以发现一些重要的事实：
这一连串的数，构成一个等差数列，它的第 1 项是4，公差是 1；
第 1 项与第 6 项，第 2 项与第 5 项，第 3 项与第 4 项的和都是 13 。
从上面这两个特点，可以想到，我们如果把等式 s＝4＋5＋6＋7＋8＋9 中等号右边的式子倒过来写，变成 s＝9＋8＋7＋6＋5＋4，然后把两个等式的左右两边分别相加，可以得出一个等式 2s＝(4＋9)＋(6＋8)＋(6＋7)＋(7＋6)＋(8＋5)＋(9＋4) 。
因为这里等号右边括号里的两个数的和都是 13，所以要求它们的和只需用乘法来做，就是 2s＝(4＋9)×6 。这样就得到
。
这个等式告诉我们，要计算所给等差数列开头 6 个项的和，就只需把首末两项的和乘以项数再除以 2 。
例如，用上面所说的方法，对于按上述形状堆放的木材，只要数出了第 1 层的根数（例如 4 根）和总共的层数（例如 9 层），就可以算出木材的总根数应该是 s＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝[(4＋12)×9]/2＝72(根) 。
这种想法，用图形来说明就更清楚。在图9·5上拼上一个倒过来的图形，如图9·6，就成为各边有相同根数的一个平行四边形，计算这个平行四边形中的根数就很容易了。
一般，设 sn是等差数列 a₁，a₁＋d，a₁＋2d，…，a₁＋(n－2)d，a₁＋(n－1)d，…前 n 项的和：
sn ＝a₁＋(a₁＋d)＋(a₁＋2d)＋…＋[a₁＋(n－2)d]＋[a₁＋(n－1)d] 。
把这个等式的右边倒过来可以改写成：
sn＝[a₁＋(n－1)d]＋[a₁＋(n－2)d]＋…＋(a₁＋2d)＋(a₁＋d)＋a₁ 。
把上面两式的左右两边分别相加，得到：
2sn＝{a₁＋[a₁＋(n－1)d]}＋{(a₁＋d)＋[a＋(n－2)d]}＋…＋{[a₁＋(n－2)d]＋(a₁＋d)}＋{[a₁＋(n－1)d]＋a₁}＝[2a₁＋(n－1)d]·n 。
根据等差数列的通项公式 an＝a₁＋(n－1)d，在公式(Ⅱ)里把 a₁＋(n－1)d 代以 an，就得：
这个公式指出：等差数列前 n 项的和等于第 1 项与第 n 项的和的一半的 n 倍。
注：在等差数列中，如果已知 a₁，d，n，sn这四个量中的任何三个，要求另一个，用公式(Ⅱ)来解比较方便；如果已知 a₁，an，n，sn这四个量中的三个，要求另一个，那末用公式(Ⅲ)就比较方便。倘使把这两个公式和公式(Ⅰ)结合起来，那末就可以解等差数列中已知 a₁，d，n，an，sn 这五个量中的任何三个求其他两个量的问题。
例5.在等差数列中，已知
解：
(1) 这里 n＝10，所以
(2) 这里 n＝10，所以
例6.在等差数列中，已知
，求 n 。
解：
由公式(Ⅱ)
得
化简后得 n²－13n＋30＝0 。
解这个方程得 n＝3，n＝10 。
求得的两个数都是正整数，所以都符合题意。
例7.在等差数列中，已知 d＝2，a**n＝1，s**n＝－8，求 n 。
分析：在公式(Ⅱ)和(Ⅲ)中，都要涉及到 a₁，但是这里 a₁ 也是未知数，所以不能直接应用这两个公式，而要把公式(Ⅰ)结合起来应用。
解：把 d＝2，an＝－1，sn＝－8 代入公式 an＝a₁＋(n－1)d 和
，
得
从(1)得 a₁＝3－2n，
代入(2)并化简得 n²－2n－8＝0 。
解这个方程得 n＝4，n＝－2 。
因为项数不能为负数，所以只能取 n＝4 。
例8.某剧院有 25 排座位，后一排都比前一排多 2 座，最后一排有 70 个座位，这个剧院一共有多少个座位？
解：因为这个剧院各排的座位数成等差数列，其中公差 d＝2，项数 n＝25，而第 25 项是 a₂₅＝70，所求的座位总数就是这个等差数列的前 25 项的和 s₂₅ 。
从公式 a₂₅＝a₁＋(n－1)d 得
70＝a₁＋(25－1)·2，
∴ a₁＝22 。
从公式
，
得
。
答：这个剧院总共有 1150 个座位。
习题9-2(2)
1、在下表中，根据已知的三个数，求未知的两个数。
2、
(1) 等差数列的通项公式是 an＝2n＋1，求它的前 n 项和的公式；
(2) 等差数列前 n 项和的公式是 sn＝3n²，求它的通项公式。[提示：a₁＝s₁＝3 ]
3、一个物体第 1 秒降落 4.90 米，以后每秒比前一秒多降落 9.80 米。
(1) 如果它从山顶落到地面，经过 5 秒钟到达地面，那末这山的高是多少米？（5 看成是准确数）
(2) 如果它从 1960 米的高空落到地面，要经过几秒钟？
4、时钟在 1 点钟的时候打 1 下，在 2 点钟的时候打 2 下……，在 12 点钟的时候打 12 下。中间每半点钟也打 1 下，一昼夜内它一共打几下？
5、两个相距 153 米的物体作相向运动。甲每秒经过 10 米，而乙第一秒经过 3 米，以后每秒都比前一秒多经过 5 米，经过几秒钟两个物体相遇？
6、多边形的周长等于 158 厘米，它的边长组成公差等于 3 厘米的等差数列。已知多边形最长的一条边等于 44 厘米，问这个多边形有多少条边？
7、解下列方程：
(1) 1＋4＋7＋…＋x＝117；
(2) (x＋1)＋(x＋4)＋(x＋7)＋…＋(x＋28)＝155 。
8、求等差数列的第 1 项，公差，和项数，其中