函数的单调性与导数

函数的单调性与导数

函数的单调性与导数是高中数学选择性必修第二册的重要内容，本节主要介绍函数单调性与导数的关系及其应用。

1. 函数单调性的定义

函数单调性是描述函数图像上升或下降性质的概念。设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导：

• 如果对任意的 $x_1, x_2 \in (a, b)$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调递增。
• 如果对任意的 $x_1, x_2 \in (a, b)$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调递减。

2. 导数与函数单调性的关系

函数的导数可以用来判断函数的单调性。设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导：

• 如果 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调递增。
• 如果 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调递减。

3. 判断函数单调性的步骤

1. 求函数的导数 $f'(x)$。
2. 解不等式 $f'(x) > 0$ 和 $f'(x) < 0$。
3. 根据解集确定函数的单调区间。

4. 例题解析

例1：判断函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 的单调性。

解：

1. 求导数：$f'(x) = 3x^2 - 3$
2. 解不等式：

• $f'(x) > 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 > 0 \Rightarrow x^2 > 1 \Rightarrow x < -1$ 或 $x > 1$
• $f'(x) < 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 < 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow -1 < x < 1$

3. 结论：函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$ 内单调递增，在 $(-1, 1)$ 内单调递减。

5. 练习题

1. 判断函数 $g(x) = x^4 - 4x^2 + 1$ 的单调性。
2. 已知函数 $h(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + ax + 1$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内单调递增，求实数 $a$ 的取值范围。

6. 总结

函数的单调性与导数的关系是高中数学的重要知识点，通过导数可以方便地判断函数的单调性。掌握这一知识点对于解决函数相关问题具有重要意义。