向量的内积外积与其几何意义
向量的内积外积与其几何意义
向量的内积（点乘）和外积（叉乘）是线性代数中的重要概念，它们不仅在数学理论中占有重要地位，还在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。本文将从基本定义出发，深入探讨这两种运算的几何意义及其实际应用，帮助读者建立直观的理解。
一、点乘（内积）
设有向量 (\vec{a} = (x_1, y_1)) 和 (\vec{b} = (x_2, y_2))，夹角为 (\theta)，内积定义为：
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2
]
几何意义
- 夹角：由 (\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta) 可知：
- 当内积 > 0 时，(\theta < 90^\circ)
- 当内积 < 0 时，(\theta > 90^\circ)
- 当内积 = 0 时，(\theta = 90^\circ)
同时也可以计算 (\theta) 的值：(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})
- 投影：(|\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}) 表示 (\vec{a}) 在 (\vec{b}) 上的投影。
对偶性
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|(|\vec{b}|\cos\theta) = |\vec{b}|(|\vec{a}|\cos\theta)
]
- (|\vec{a}|(|\vec{b}|\cos\theta)) 的理解是 (\vec{a}) 的长度与 (\vec{b}) 在 (\vec{a}) 上的投影的乘积；
- (|\vec{b}|(|\vec{a}|\cos\theta)) 的理解是 (\vec{b}) 的长度与 (\vec{a}) 在 (\vec{b}) 上的投影的乘积；
- 而这两个是相等的。
二、叉乘（外积）
对于三维向量，叉乘可以通过三阶行列式计算。对于二维向量，可以将其视为三维向量（z分量为0）的特殊情况。
几何意义
对于三维向量，如果将 (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) 的具体值带入公式，可以得到一个同时垂直于 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 的向量：
[
\vec{a} \times \vec{b} = m\vec{i} + n\vec{j} + l\vec{k}
]向量 ((m, n, l)) 就是一个同时垂直于 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 的向量。
对于二维向量 (\vec{a} = (x_1, y_1)) 和 (\vec{b} = (x_2, y_2))，叉乘可以表示为：
[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \ \end{vmatrix} = x_1y_2 - x_2y_1
]设这个数值为 (m)，则：
[
|m| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}|\sin\theta
]其中 (\theta) 为 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 的夹角。同时，(|m|) 也等于 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 构成的平行四边形的面积。
判断向量的相对位置（顺逆时针）
假设 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 如下图所示：
计算 (m = \vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1)
当 (m > 0) 时，(\vec{a}) 逆时针转到 (\vec{b}) 的角度 < 180°
当 (m < 0) 时，(\vec{a}) 逆时针转到 (\vec{b}) 的角度 > 180°
当 (m = 0) 时，(\vec{a}) 和 (\vec{b}) 共线
直观记忆如下图：
(m > 0)，(\vec{b}) 在蓝色部分；
(m < 0)，(\vec{b}) 在红色部分；
(m = 0)，(\vec{b}) 在分界线上（与 (\vec{a}) 共线）。
三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）
我们平时默认的坐标系是这样的：
但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：
可以发现，同样的 (\vec{a} = (2, 1)) 转到 (\vec{b} = (1, 2))，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从x轴旋转到y轴的方向。
所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：
- 当 (m > 0)，(\vec{a}) 正旋转到 (\vec{b}) 的角度 < 180°
- 当 (m < 0)，(\vec{a}) 正旋转到 (\vec{b}) 的角度 > 180°
- 当 (m = 0)，(\vec{a}) 和 (\vec{b}) 共线
而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。