终于把统计学中的 T 检验搞懂了！！

终于把统计学中的 T 检验搞懂了！！

T 检验是一种广泛应用于统计学中的假设检验方法，用于比较两个样本均值之间是否存在显著差异，或者一个样本的均值是否与已知值有显著差异。它基于 t 分布，适用于样本量较小（通常 n < 30）且总体标准差未知的情况。T 检验的核心思想是通过计算 t 统计量，来判断观察到的差异是否具有统计学意义。

T 检验的类型

T 检验主要包括以下三种类型。

1.单样本 t 检验

用于检验一个样本的均值是否与已知的总体均值存在显著差异。

适用场景

例如，检测某批产品的平均寿命是否与公司标注的寿命一致。

假设

• H0：样本均值等于总体均值
• H1：样本均值不等于总体均值

数学公式

其中：

• x̄ 是样本均值
• μ 是总体均值
• s 是样本标准差
• n 是样本大小

2.独立样本 t 检验

用于检验两个独立样本的均值是否有显著差异。

适用场景

例如，比较男性和女性的平均身高是否不同。

假设

• H0：两组样本的均值相等。
• H1：两组样本的均值不相等。

数学公式

其中：

• x̄1 和 x̄2 是两个样本的均值
• s1^2 和 s2^2 是两个样本的方差
• n1 和 n2 是两个样本的大小

3.配对样本 t 检验

用于比较两个相关样本（如同一组实验对象在不同时间点的测量值）的均值是否有显著差异。

适用场景

例如，比较同一批学生在两次考试中的成绩是否有显著变化。

假设

• H0：配对样本的均值差为零。
• H1：配对样本的均值差不为零。

数学公式

其中：

• d̄ 是配对差值的均值
• sd 是差值的标准差
• n 是配对样本对数

T 检验的步骤

以下以独立样本 t 检验为例，介绍其基本步骤。

1. 提出假设
   定义零假设（H0）和备择假设（H1）

• 零假设（H0）：两组均值相等，即 μ1 = μ2
• 备择假设（H1）：两组均值不相等，即 μ1 ≠ μ2（双尾检验）。或选择单尾检验：μ1 < μ2 或 μ1 > μ2。

2. 选择显著性水平
   常用的显著性水平有 0.05、0.01 等。

3. 计算 t 统计量
   公式如下：
   t = (x̄1 - x̄2) / sqrt[(s1^2/n1) + (s2^2/n2)]

其中，x̄1 和 x̄2 为两个样本均值，s1^2 和 s2^2 为样本方差，n1 和 n2 为样本大小。

4. 确定自由度
   对于独立样本 t 检验，自由度计算较为复杂，常用公式为：
   df = [(s1^2/n1) + (s2^2/n2)]^2 / [(s1^2/n1)^2/(n1-1) + (s2^2/n2)^2/(n2-1)]
   或在方差齐性假设成立时，简化为 df = n1 + n2 - 2

5. 查找临界值或计算 p 值
   根据 t 分布表和自由度，确定临界 t 值，或直接计算 p 值。

6. 做出决策
   根据 T 值或 P 值，判断是否拒绝零假设

• 如果 |t| > t_critical，或 p < α，拒绝零假设，认为两组均值存在显著差异。
• 如果 |t| ≤ t_critical，或 p ≥ α，不拒绝零假设，认为两组均值差异不显著。

T 检验的假设

所有类型的 T 检验都基于以下基本假设：

1. 数据正态性：样本数据应近似服从正态分布（尤其是小样本时）。
2. 方差齐性：独立样本 T 检验要求两组数据的方差相等。
3. 独立性：样本数据之间应相互独立。

案例分享

某研究对两组学生进行不同的教学方法实验，并记录了他们的考试成绩：

• 组 1：传统教学法，样本大小为 10，考试成绩为 [82, 88, 91, 85, 89, 93, 87, 90, 84, 86]。
• 组 2：新型教学法，样本大小为 10，考试成绩为 [79, 81, 85, 83, 80, 86, 84, 82, 78, 88]。

研究问题
新型教学法是否显著提高了考试成绩？

假设：

• 零假设 (H0)：两组成绩的均值没有显著差异 (μ1 = μ2)。
• 备择假设 (H1)：两组成绩的均值存在显著差异 (μ1 ≠ μ2)。

import numpy as np
from scipy.stats import ttest_ind

# 数据
group1 = np.array([82, 88, 91, 85, 89, 93, 87, 90, 84, 86]) # 传统教学法
group2 = np.array([79, 81, 85, 83, 80, 86, 84, 82, 78, 88]) # 新型教学法

# 独立样本 T 检验
t_stat, p_value = ttest_ind(group1, group2, equal_var=True) # 假设方差相等

# 显示结果
alpha = 0.05 # 显著性水平
print(f'T 值: {t_stat:.2f}')
print(f'P 值: {p_value:.4f}')
if p_value < alpha:
    print('拒绝原假设，认为两组均值存在显著差异。')
else:
    print('不拒绝原假设，认为两组均值不存在显著差异。')

解释

1. P 值
   P 值为 0.0037，小于显著性水平，因此拒绝零假设。

2. 结论
   传统教学法和新型教学法对学生考试成绩的影响存在显著差异。