2025届高三数学一轮总复习 第九章 专题十 概率与统计的热点问题

2025届高三数学一轮总复习 第九章 专题十 概率与统计的热点问题

2025届高三数学一轮总复习 第九章 专题十 概率与统计的热点问题

一、数据分析型问题

例1：《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，我制造业大国地位更加巩固，综合实力进入世界制造强国前列.质检部门对出口的甲、乙两种无人机分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如图10-1所示的频率分布直方图：

（1）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种无人机大小（只需给出答案）；

（2）若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标及小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断甲、乙两种无人机的优质率有差异.

产品质量

解：

（1）a＝0.010，且

（2）甲种无人机的优质率为0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种无人机优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种无人机中优质率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架.

产品质量

2×2列联表如下：

零假设H0：甲、乙两种“无人机”的优质率没有差异.经计算得到

故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，不能推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异.

（3）计算得x＝5×0.15＋15×0.25＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.5.因为Z～N(23.5，142.75)，11.6≈μ－σ，35.4＝μ＋σ，所以P(11.6≤Z≤35.4)＝0.6827.故从乙种无人机中随机抽取1架，其质量指标值位于[11.6，35.4]的概率是0.6827.根据题意得X～B(10，0.6827)，∴E(X)＝10×0.6827＝6.827.

【题后反思】

数据分析主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论.该类问题常以科技、生活中的热点为载体，将收集到的数据信息以图表（频率分布直方图、饼图、条形图等）的形式展现，重在考查数据提取能力和解决问题的能力.

二、概率与数列交汇问题

例2：甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）若随机变量Xi服从两点分布，且满足P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).

解：

（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.

（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，则Pn＋1＝0.6Pn＋0.2(1－Pn)＝0.4Pn＋0.2，

【题后反思】

此类问题应先抓住变化前后量的变化，借助概率统计的知识建立有关P的函数解析式或递推关系式，在此基础上借助数列知识求解相应问题.

三、概率与统计案例的综合应用

例3：为落实“十三五”规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，分别得到如图10-3和图10-4所示的频率分布直方图：

型号

（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：

根据上面的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？

（2）用分层随机抽样的方法从不超过2500小时的A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和均值；

（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计），A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.

参考数据：

解：

（1）由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70(台)，则A型不超过2500小时的有30台，同理，B型超过2500小时的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50(台)，则B型不超过2500小时的有50台.

型号

列联表如下：

零假设为H0：使用寿命是否超过2500小时与型号无关，根据列联表中的数据，经计算得到

所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.

（2）由（1）和分层随机抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，

所以X的所有可能取值为0，1，2，3，

（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知，A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10-4＝16.75(万元)，选择B型设备的总费用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10-4＝20.25(万元)，y1<y2，所以选择A型设备.

【反思感悟】

高考中常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，由频率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.