正弦定理的几何推导

正弦定理的几何推导

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/xl_1803/article/details/131237463

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它描述了三角形的边长与对应角的正弦值之间的关系。具体来说，对于任意一个三角形，其三边a、b、c与对应角A、B、C的正弦值之间满足以下关系：

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
$$

其中，2R是该三角形外接圆的直径。

推导过程

要推导正弦定理，我们从三角形的外接圆入手。考虑一个三角形ABC及其外接圆，如下图所示：

在图中，AB是外接圆的直径，因此∠ABE是直角（直径所对的圆周角是直角）。根据圆周角定理，∠C和∠E是对同一个弧的圆周角，因此它们相等，即∠C = ∠E。

接下来，我们利用直角三角形的性质来推导正弦定理。在直角三角形ABE中，有：

$$
\sin C = \sin E = \frac{c}{2R}
$$

因此：

$$
\frac{c}{\sin C} = 2R
$$

同理，可以证明对于三角形的其他两边和对应角，也有类似的等式成立。这就完成了正弦定理的推导。

这个推导过程展示了正弦定理与三角形外接圆之间的几何联系，有助于更深入地理解这个定理的内涵。