如何从傅里叶变换中推导出海森堡不确定性原理？
如何从傅里叶变换中推导出海森堡不确定性原理？
在量子力学诞生初期，物理学家们试图理解电子等亚原子粒子的波粒二象特性。部分原因是需要解释在电子双缝实验中观察到的衍射图案和原子的离散频谱，这表明只存在离散的“允许”电子轨道。为了解释这些实验观察结果，物理学家路易·德布罗意挺身而出，假设每个物质粒子都有一个相关的波，这种波被称为物质波或德布罗意波，具有相应的德布罗意波长。这种物质波后来被薛定谔发展为波函数的概念，它捕捉到了粒子的波动特性。
然而，物理学家当时面临的挑战是如何在数学上调和这两种截然不同的物质描述。在颗粒状物质描述中，物质粒子在空间中具有精确定义的位置和轨迹，但粒子相关的物质波似乎像池塘中的涟漪一样在整个空间中延伸。
为了调和这两种描述，我们在量子力学中利用局部波函数（也称为波包）来同时捕捉量子粒子的粒子和波动特性。局部是指描述粒子位置（或动量）概率分布的波函数不会在所有空间方向上无限延伸。相反，它仅在特定的有限空间区域内有效非零，在其他地方为零。例如，典型的局部波函数是高斯波包，如下所示：
原型局部一维高斯波包。
这里，我们在位置x = 0处找到粒子的峰值的概率幅度最大，并且当我们远离这个原点时，概率幅度迅速下降，并且在空间的其他地方实际上为零。
为了用数学方法表示高斯波包或任何任意波包，我们使用傅里叶变换。对于那些已经熟悉傅里叶变换的人来说，这可能是完全直观的，然而对于那些不熟悉的人来说，核心概念是：
任意形状的波包都可以分解为多个具有不同波长和振幅的正弦波的总和。
然而，在实践中，我们处理的是具有不同波长的连续波，因此我们使用积分而不是和。我们也可以重新表述这个想法如下：
任意波包都可以分解为具有不同德布罗意波长和振幅的不同物质波的叠加。
因此，利用傅里叶变换，我们可以将任意波包表示为：
其中复指数定义了具有波矢k和角频率 𝜔的正弦平面波。我们可以看到，傅里叶变换将波包从空间域转移到“波矢”域，反之亦然，其方式与将时域信号转换为频域的方式完全相同。
此时我们应该明确物质波的波矢、其德布罗意波长和相应粒子p的动量之间的联系：
由于波矢和动量成正比，我们也可以说傅里叶变换将波包从其位置 x 表示𝜓(x)转换为其动量 p 表示𝜙(p)。如前所述，位置表示中的波包描述了在任何位置找到粒子的概率幅分布，同样，动量表示中的波包给出了测量具有给定动量的粒子的概率幅分布。
暂时让我们考虑特定时间t 的波包，因为我们不关心描述其时间演化，而是关注其静态、静止特征。因此，在t = 0时，我们有以下不依赖于时间的波包描述：
由于波包的波矢表示只是位置表示的傅里叶变换，反之亦然，因此我们也有：
因此，波包的位置表示可作为波包在其波矢量表示中的傅里叶分解的复振幅𝜓(x)。因此，我们可以清楚地看到，这两种表示是密不可分地相互依赖的。
现在让我们回过头来考虑我们的一维高斯波包。作为示例，我们将在波矢表示中定义高斯波包如下：
其中指数前面的系数只是一些归一化常数，而 σ 有效地描述了高斯波包的“宽度”。我们还可以看到高斯概率幅度在某个波矢量k₀处达到峰值。现在，只需对上述表达式进行傅里叶变换，我们就可以得到其位置表示中的波包：
然后，我们可以使用峰值波矢k₀和高斯波包宽度 σ的任意值绘制出波包在其位置|𝜓(x)|²和波矢 |𝜙 (k) | ²表示中的概率分布：
波包概率分布在其位置和波矢表示的图。
从这里我们可以通过观察改变高斯波包宽度 σ 的影响来直观地了解这两种表示如何相互依赖。动画如下：
具有不同高斯波包宽度的位置和波矢概率分布的动画。
当我们考虑概率分布时，我们现在可以将波包的宽度视为不确定性。因此，上面的动画显示，随着位置空间中波包的不确定性降低，波矢量或动量表示中的不确定性增加，反之亦然。如果我们将波包宽度 σ 项考虑在两个波包表示的指数中，这种反比关系也很明显：
因此，如果位置波包的宽度趋近于零，我们就能准确而精确地确定粒子的位置。但与此同时，粒子动量的不确定性必然会增加并趋近于无穷大。
因此，粒子位置和动量的不确定性之间存在着根本的权衡。粒子的位置和动量不可能同时以任意精度被知道。
这样，我们就开始了解海森堡不确定性原理的基础。
标明半宽不确定性的位置和波矢概率分布图。
现在让我们对不确定性原理进行更数学的描述。为此，我们将位置 Δx和波矢 Δk的不确定性定义为高斯波包中心的“距离”，此时概率下降到最大概率的 exp ( — 1/2)。这些位置和波矢不确定性在上图中以图形方式呈现，数学描述如下：
现在，让我们将高斯波包表达式代入上面的方程中。对于位置和波矢量波包，我们得到：
如果我们将指数相等并重新排列，我们就会得出两个不确定性的以下表达式：
这里我们可以更清楚地看到两个不确定性之间的反比关系。因此，将两个不确定性相乘可得出以下不确定性关系：
最后，我们可以应用粒子物质波的波矢和粒子动量之间的关系：
为了得出海森堡的量子不确定性关系：
现在，在实践中，海森堡的量子不确定性关系通常表示为一个不等式：
我们之所以推导出一个等式关系，是因为我们考虑的高斯波包代表了最低不确定性的波包形状，因此我们的不确定性等式关系代表了不等式关系的最低极限 。正因为如此，高斯波包通常也被称为傅里叶极限或变换极限波包形状。因此，所有其他波包形状的不确定性都将大于 ℏ/ 2。