理解现代物理，张量是你无法绕过的概念，它推动了物理学的统一

理解现代物理，张量是你无法绕过的概念，它推动了物理学的统一

如果你想理解现代物理，张量是你无法绕过的概念。——费曼

数学家对张量是怎么定义的？在 m 维空间中，一个阶数为 n 的张量是一个具有 n 个指标、并且包含 m 的 n 次方个分量的数学对象，这些分量遵循特定的变换规则。

我们可以讲得更清楚点！

如果你和我一样，你可能会觉得课本里的定义总是让人难以满意。不过，说句公道话，这种定义的确是正确的、完整的，而且简洁的。总之，正确性是绝对关键的。不管你的解释多么清晰，如果是错的，那就毫无意义。不过，完整性和简洁性是可以灵活调整的。所以，让我们来看看如何改进。

要达到这个目标，我们得先了解一些背景知识，因为那个定义实在是太抽象了！

“张量（tensor）”这个词其实源自一个拉丁词，意思是“拉伸”。当你沿物体的长度方向拉伸时，物体会产生一种叫做“拉伸应力”的现象。物体的长度会因此增加。

但实际上，拉伸并不是物体唯一可能承受的应力类型。立方体可以沿三个空间方向进行拉伸或压缩。

那么，用一个向量描述这些情况不就够了吗？首先，向量本身就是一种张量；其次，还有六种应力我还没提到。立方体还可以沿这些方向发生剪切变形。所以，总共有九种可能的应力形式。

可是，我们不能把这些方向上的力简单加在一起吗？绝对不行！每种力都会让立方体产生不同的反应，必须分别考虑这些力的影响。这九种不同的应力通常被组织成一个 3×3 的矩阵，称为应力张量。

张量之所以是张量，并不是因为可以把它写成矩阵的形式。矩阵和张量不是一回事。矩阵有时候只是一个方便的数字排列方式而已。

把应力张量写成这样的矩阵形式，可以清楚地看到它有九个分量。不过，我们之前的定义提到了两个关键特性：阶数（rank）和维度（dimension）。

立方体是三维的，所以描述它行为的任何张量也必须是三维的。这就是为什么应力张量被组织成 3 行 3 列的形式。每一行和每一列都对应三维空间的一个特定方向。

就是这么简单！

阶数是指需要多少信息才能找到一个具体的分量。在这个例子中，只需要一行和一列的信息。这意味着需要两条信息，所以我们说这个张量是二阶的。因此，应力张量是二阶、三维的。

对于任何维度的二阶张量，矩阵表示法都非常方便。例如，电磁场张量也是二阶的，因为我们依然只需要一行和一列的信息来找到一个分量。

但是，它有4 行4列，因此这个张量是四维的。所以，电磁场张量是二阶、四维的。

不过，对于更高阶的张量，矩阵表示法就不太适用了。例如，一个三阶张量需要三条信息才能找到一个具体的分量。

虽然技术上我们仍然可以把它表示成矩阵，但相关的数学运算就不那么直观了。四阶张量的情况就更糟了。像这样的表示虽然看起来很有趣，但实用性不强。

说实话，矩阵表示法只是为了让初学者在学习张量时感到更舒适。那么，我们该用什么呢？指标表示法（Index Notation）！

零阶张量意味着不需要任何信息来找到一个分量。这就是一个标量。一阶张量意味着只需要一条信息来找到一个分量。换句话说，只需要一个指标。这就是向量。比如，一个小球在桌面上移动的速度向量。

二阶张量意味着需要两条信息或两个指标。传统上，用拉丁字母表示二维和三维的指标，用希腊字母表示四维的指标。这样一眼就能看出阶数和维度。

三阶张量需要三个指标，四阶张量需要四个指标，以此类推。

好那究竟是什么让它们成为张量呢？它们的变换规则！

人类对速度有一定的直觉感受，所以我们就从速度开始讲起。

一个小球球可能会受到风的影响，从而减速，但我们讨论的不是这种变化。我们讨论的不是情境本身的变化，而是坐标系的变化。

为了用物理学来分析这个场景，需要给它指定一个坐标系，

不过，这只是一个工具而已。坐标系的选择不应该影响物理现实。无论怎么变换坐标系，小球的速度都不会改变。

旋转坐标系难道不会改变方向吗？不会，小球还是向右（或向左）运动的。可是分量值变了啊！是的，但那只是用来表示这个向量的方式变了，向量本身的物理性质没有变。

这个向量是一个一阶、二维张量。它有两个分量，每个维度对应一个分量。任何坐标变化都会改变这些分量的值，但这个向量的物理本质是不会变的。

那任何箭头表示法不都这样吗？

实际上不是的。举个例子，来看角动量。如果把坐标系放在这个圆轨道的中心，角动量的方向是向上的，而且恒定不变。

但是，如果把坐标系移到圆的边缘，角动量就不再是恒定的了。角动量值会随时间变化，甚至会在某个瞬间变成零。

这太荒谬了！真实的物理量不应该这样变化。

所以，我们称角动量为伪向量（pseudovector）。它有一个方向，看起来像个向量，但它其实并不是一个真正的向量。速度是一个真正的向量，而角动量不是，它是伪向量。

对于一个真正的向量，如果它在某个坐标系下为零，那么在所有坐标系下都必须为零，没有例外。

但是，如果坐标系跟着物体一起移动，速度不是就变成零了吗？是的，但那不是一个三维变换，而是一个四维变换。所以，不能用三维向量来描述。这个小球相对于桌子在运动，但它相对于自身没有运动。将坐标系切换到一个匀速移动的系统，我们称之为引速变换（boost），而这种变换需要把时间也作为一个维度来考虑。

这个小球可能正在穿过空间，但它也在穿越时间。它有自己的时间轴。我们把这种情况称为时空，而引速变换其实就是一个四维坐标的旋转。但是，如果要讨论速度，就需要一个四维速度，也叫4-Velocity。这是一个一阶、四维张量。

这个小球的4-Velocity是一个真实向量，它在这些四维旋转下保持不变，就像普通的三维速度在三维旋转下保持不变一样。如果想在四维空间中工作，就必须使用四维张量。

类似的情况也适用于三维磁场。移动的电荷会产生磁场，但前提是能看到电荷在运动。如果你跟着电荷一起移动，那么电荷相对于你是静止的，因此不会有磁场。所以，磁场并不是一个真正的向量，它是一个伪向量。这就是为什么我们引入了二阶电磁张量。它解决了这个问题。这是一个真实的张量。

但遗憾的是，二阶张量无法像向量那样用一个箭头来表示，不过我们可以把它理解为向量之间的变换。事实上，这正是这条电磁张量方程所表达的意思，

它把带电粒子的4-Velocity转化为力。一个移动的带电粒子在力场中会受到力的作用。这是不是有点神奇？

让我们用应力张量来举个例子。

我们都玩过骰子。最好的骰子应该是柏拉图立体。我们来看看四面体骰子。

如果想知道某个表面上的受力情况，只需要知道它的应力张量就可以了。

假设其中一个表面朝向这个方向[A_x, A_y, A_z]。如果它受到的应力是这样描述的，

那么这个表面就会朝这个方向受到推力（蓝色）。

面积向量被转化成了力向量。

那么，张量到底是什么？张量是一个在变换下保持其物理意义不变的数值或一组类似的数值。如果更换坐标系，张量的分量值会发生变化，但这种变化方式会协同作用，从而保持张量的物理意义不变。比如，速度向量是一个一阶张量，它描述了小球的运动，无论选择什么坐标系，它的物理意义都不变。上面的应力张量是一个二阶张量，它描述了如何从面积计算出力，无论坐标系如何变化，这个关系都不变。

如果数值或数值集合不能做到这一点，那么它就不是一个张量，而是一个伪张量。在数学中，无法分辨真实张量和伪张量可能会让你陷入大麻烦。