高斯对尺规画出正十七边形的巧妙构思
高斯对尺规画出正十七边形的巧妙构思
1796年3月30日，年仅18岁的卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）解决了一个困扰数学家两千年的难题：用尺规画出正十七边形。这一成就不仅展示了高斯非凡的数学才能，也标志着他正式走上数学研究的道路。
感受数学王子高斯的思维
数学王子高斯一生有很多惊人的成就，而接下来这个惊人之作，其价值不可估量，因为它让高斯坚定了走数学之路，而不是成为一个语言学家。这是人类之幸。
高斯还是哥廷根大学新生的时候（距离他19岁生日还有一个月），仅用了一夜就解决了一个困扰几何学家两千年的难题：用尺规画出正十七边形。
虽然这个问题的确是在1796年3月30日解决的，但高斯在日记中记录，之前几个月的时间里，他一直在思考一些数论问题，而这恰恰是关键。高斯为了纪念自己的发现，从那天开始连续记了18年的数学日记（Mathematisches Tagebuch）。
他并没有写出尺规作图（没有刻度的直尺和圆规）的具体步骤，而是用数论的方法证明了为什么能用尺规画出正十七边形。当然他肯定知道怎么作图，否则也无法解决这个问题了。
在此之前笛卡尔就有论文很清楚地说明了：给定单位长度后，如何用几何方法把线段的长度加减乘除以及开平方。（笛卡尔在1637年发表了一篇著名的数学论文《几何学》（La Géométrie），探讨了利用代数手段解决几何问题的方法。）
那我们就来看看高斯究竟是怎么做的。
其实高斯只做了一件事，就是找到cos ( 2 π 17 ) \cos \left( \frac{2\pi}{17} \right)cos(172π )的只含二次根式的表达式。
对于方程x 17 − 1 = 0 x^{17}-1=0x17−1=0在复平面上共有17个根，它们呈单位圆上的十七等分。
我们假设g = cos ( 2 π 17 ) + i ⋅ sin ( 2 π 17 ) g=\cos \left( \frac{2\pi}{17} \right)+i \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{17} \right)g=cos(172π )+i⋅sin(172π )，那么其中16个根，恰好就是g gg的1次方到16次方，而第17个根就是x = 1 x=1x=1，也可以说是g gg的17次方。
x 17 − 1 x^{17}-1x17−1可以这样被因式分解：
因为g gg是上述分圆方程的一个根，所以用g gg代入x xx等式成立，可得:
也即：
接下来高斯就要开始他的表演了：
将剩下的16个根按以下分成2组：
由于这两组内的根（每个括号内的两个根）都两两形成共轭。
什么叫共轭，就是两个复数关于实数轴对称。
所以他们相加，虚数部分就抵消了，而相乘也正好等于一个实数。
a + a ′ a + a'a+a′即g gg的1次方到16次方之和，所以a + a ′ = − 1 a + a' = -1a+a′=−1。
而根据分组a a ′ aa'aa′的64项，恰好g gg的1次方到16次方各出现了4次（别忘了g gg的17次方等于1，可以将所有项都降到16次方以内）。
所以a a ′ = − 4 aa' = -4aa′=−4。
根据韦达定理可知，a aa和a ′ a'a′就成了新方程x 2 + x − 4 = 0 x^2 + x - 4 = 0x2+x−4=0的两个根。
运用二次方程求根公式，显然a aa和a ′ a'a′都可以表示成二次根式的形式。
然后将a aa和a ′ a'a′再次分组，得到b bb和b ′ b'b′，以及c cc和c ′ c'c′。
接下来再将b bb分成d dd和d ′ d'd′。
可知d dd和d ′ d'd′就是方程x 2 − b x + c = 0 x^2 - bx + c = 0x2−bx+c=0的两个根，又知：
由上面的一系列分组我们知道，a aa和a ′ a'a′可以表示为二次根式的形式：
而用相同的方法可知：b bb、c cc、d dd也都可以表示为二次根式嵌套的形式：
那么我们就得到了最关键的cos ( 2 π 17 ) \cos \left( \frac{2\pi}{17} \right)cos(172π )的表达式：
所以，任意给出一个单位长度，我们就能得到 cos (2π/17) 的长度，进而得到单位圆中 2π/17 的角度，那么正十七边形问题就迎刃而解了。
所以，任意给出一个单位长度，我们就能得到cos ( 2 π 17 ) \cos \left( \frac{2\pi}{17} \right)cos(172π )的长度，进而得到单位圆中2 π 17 \frac{2\pi}{17}172π 的角度，那么正十七边形问题就迎刃而解了。
高斯不仅解决了正十七边形问题，还找到了能用尺规作图的正多边形需要满足的条件。
从这个问题的逻辑链，我们可以感受到高斯的思维深度。他将自己的这个惊人发现写进了数论大作《算术研究》里，成为了那部著作的压轴大戏。
高斯完成了用数论方法解决几何问题的壮举，这种不同数学分支间的联系，往往具有重要价值。
高斯的确是一位思想深刻，出手不凡的天才，可即便强如高斯，也告诉了我们一个道理：惊人的成就绝不可能一蹴而就。
高斯在1801年证明了如果费马数K KK为质数，则可以用直尺和圆规将圆周等分为K KK等份。基于这一结果，高斯成功作出了正十七边形。高斯进一步提出，一个正多边形可以用直尺和圆规作图的充分条件是其边数n nn是2 22的幂次与若干费马素数的乘积。虽然高斯认为这是必要条件，但未能提供证明，后来由 Pierre Wantzel 给出证实，因此这一结果被称为“高斯 - Wantzel 定理”。
为什么只有边数为费马素数的多边形才能用尺规作图
确切地说是边数为2的幂与费马素数之积的正多边形可用尺规作图
首先，作正 n 边形等同于在复平面上作 n 次单位根
使用圆规和直尺相当于分别在平面上构造二次方程和一次方程，反复使用尺规即在平面反复嵌套和这两种方程并求解的过程，因此可以用尺规作图的数是最高次数为2的幂且在 Q 中不可分解的多项式的根
且对任意可构造的数构成的域 K，[ K : Q ] = 2 m [K:Q]=2^m[K:Q]=2m，即 K 作为 Q 上的线性空间维度为 2 的幂
由n nn次单位根的定义易知其在Q QQ上的维度是ϕ ( n ) \phi(n)ϕ(n)，事实上它们是x ϕ ( n ) + . . . . + 1 = 0 x^{\phi(n)}+....+1=0xϕ(n)+....+1=0的根
而ϕ ( n ) = 2 m \phi(n)=2^mϕ(n)=2m的数是 2 的幂与费马素数之积
黄金时代的群山之巅
19世纪是数学的黄金时代，这一百年里新增的数学成果超过了之前所有时代的总和。
如果将这个时代的数学家比作群山，那群山之巅无疑要数卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss，1777年4月30日 —1855年2月23日），一位基本靠自学成才的天选之子。自他之后，数学的中心开始由法国向德国倾斜。
可以说数学上的惊人之举贯穿了他的一生。
高斯出生于德国布伦瑞克的一个贫寒之家，他对数字很敏锐，仅仅通过自己的观察就学会了计算，三岁时已能纠正父亲账目上的错误。
德国布伦瑞克
高斯10岁时，老师在课堂上出了一道题，让学生计算从1加到100，还没等老师坐下，小高斯就心算出了答案。在没有任何人指导过的情况下，他自己摸索出了等差数列快速求和的方法。
从此，他的老师比特纳和助手巴特尔斯意识到了这个孩子天赋异禀，很快就让布伦瑞克 - 吕讷堡公爵（卡尔・威廉・斐迪南，布伦瑞克 - 吕讷堡公爵，布伦瑞克 - 沃尔芬比特尔 - 贝芬亲王，Charles II William Ferdinand, Duke of Brunswick-Lüneburg, Prince of Brunswick-Wolfenbuettel-Bevern）注意到了高斯的才能。
布伦瑞克 - 吕讷堡公爵
这位具备学识教养且仁厚开明的公爵见了高斯，十分欣赏，从此开始资助高斯。高斯顺利完成了在本地卡罗琳学院的学习后，被哥廷根大学录取（1795年）。
然而进了大学的高斯困惑于，自己究竟是学习语言还是学习数学。
哥廷根大学
距他19岁生日还有一个月时（1796年3月30日），高斯终于不再迷茫。他在那一天解决了一道困扰数学家近两千年的难题：用尺规画出正十七边形，并证明了用尺规能还画出哪些正多边形。
从此，高斯选择了数学，这是人类之幸。
之后他开始记日记，以纪念这次重大发现，而他的日记一直持续了18年。仅仅这一年（1796年），他的数学日记里就有许多惊人的发现：
3月30日，构造正17边形的方法；
4月8日，二次互反律的第一个证明；
5月13日，猜测素数分布的规律即素数定理；
7月10日，提出任何自然数是最多三个三角形数的和，“ΕΥΡΗΚΑ！num =Δ+Δ+Δ”。
还在读大学的高斯开始撰写数论著作。
在21岁时（1798年）他完成了巨著《算数研究》。这一年，高斯博士毕业，再次回到了家乡布伦瑞克。
在公爵的资助下，3年后（1801年）该书出版。
在书中，高斯建立了同余的概念和符号；对18世纪数论成就进行了回顾；提出了 “黄金定理”二次互反律的证明（两年前勒让德的证明存在漏洞）；他在全书最后，讨论了分圆多项式和尺规作图问题，原来当年的几何难题归根结底是一个数论问题。
拉格朗日看后，写信给年轻的高斯说：“你的《算数研究》一书，已使你跻身于第一流数学家之列了。” 然而，这本书真正受到重视，已是二十余年之后。
回到家乡，没有找到教职工作的高斯，不愿一直接受公爵的资助。于是放弃了纯数学研究，选择成为专业的天文学家。
最早让高斯声名大振的是天文学，而非数论。
1801年，天文学家（皮亚齐）发现了新的小行星谷神星，但是几周之后，这个小天体被跟丢了。高斯借助最小二乘法，设计了 “高斯法”，仅凭三次观测，就计算出了星体的椭圆轨道（现在仍然用于最终未卫星）。天文学家按高斯的预测去寻找，果然再次发现了谷神星。
24岁的高斯一战成名，俄国获悉后，曾一度想邀请高斯去圣彼得堡接替去世的欧拉。
德国意识到了高斯的重要性，在各方人士努力之下，哥廷根新建了一座天文台，邀请高斯担任天文台台长（1807年）。高斯在那里出版了《天体运动论》。
哥廷根天文台
大约15年之后，他开始负责汉诺威全境的勘测，历经多年，他不但完成这项艰巨的任务，还凭借非凡的智慧洞悉了球面几何的本质，并创造性地提出了高斯曲率，一个影响到广义相对论和宇宙形状的数学概念，高斯称之为 “绝妙定理”。
他因此出版了著作《曲面的一般研究》（1827年），标志着新的数学分支 ——微分几何的创立。
高斯在辞去天文台的工作后，又投身电磁学的研究。他与韦伯合作，创造了世界上第一个电话电报系统（1833）和第一张地球磁场图（1840）。
高斯与韦伯
高斯不经意间的一个发现，可能就为后世研究的出发点。
他将复数以复平面上点的形式进行呈现，这种可视化让虚数开始被普遍接受，现在的复平面也被称为高斯平面。
他在处理了足够多的天文数据后，得到了具有概率性质的测量结果，提出了正态分布（高斯分布），这也是概率论中最常见的一种分布。
高斯是一位完美主义者，如他自己一直信奉的格言 “少而精”，未经过深思熟虑，从不轻易示人。正因如此，他有很多重要的发现，一生都未发表。
笔记显示，他对非欧几何和椭圆函数论都有深刻认识。
19世纪上半叶，高斯未发表的内容，成为悬在数学界头顶上的 “达摩克里斯之剑”。数学家们深怕自己毕生研究的成果，高斯在几十年前就已经得到了结论。
高斯是一位生在黄金时代的天才，他的成就涉及数学的各个方面，甚至还开辟出了很多新的分支，深刻影响了人类上百年的历史。
身处群山之巅的高斯却谦虚地说道：“假如别人和我一样深刻而持续地思考数学真理，他们也会作出同样的发现。”