矩阵的行列式的几何意义究竟是什么？一文带你读懂！

矩阵的行列式的几何意义究竟是什么？一文带你读懂！

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/weixin_44705554/article/details/145789703

行列式是线性代数中的一个核心概念，它不仅在理论推导中占据重要地位，还在实际应用中发挥着关键作用。本文将从几何意义出发，深入探讨行列式的本质，并通过一个具体的图像人脸识别案例，展示行列式在实际应用中的重要性和具体使用方法。

1. 二维行列式的意义

对于2×2矩阵 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

这两个向量是:

• v₁ = (a_{11}, a_{21}) (第一列向量)
• v₂ = (a_{12}, a_{22}) (第二列向量)

行列式的绝对值 |det(A)| = |a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}| 正好等于这两个向量围成的平行四边形的面积。

我们可以通过叉积(cross product)来理解这一点:

• 两个向量围成的平行四边形面积 = v₁和v₂的叉积的长度
• |v₁ × v₂| = |a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}|

2. 为什么二维行列式会取列向量？ 而不是行向量？

1. 列向量视角（最常用）：

  
A = [a11 a12]
    [a21 a22]
  

• 第一列向量 v₁ = (a11, a21)
• 第二列向量 v₂ = (a12, a22)
• 这表示基向量的变换：把单位向量 e₁=(1,0) 变成 v₁，把 e₂=(0,1) 变成 v₂
• 行列式 = v₁和v₂围成的面积

1. 行向量视角：

  
A = [a11 a12]
    [a21 a22]
  

• 第一行向量 w₁ = (a11, a12)
• 第二行向量 w₂ = (a21, a22)
• 这表示坐标变换：一个点 (x,y) 在新基下的坐标
• 行列式值相同！因为 |A| = a11a22 - a12a21

让我创建一个可视化来展示这两种视角的等价性：

这个新的可视化展示了重要的几点：

1. 列向量观点（左图）：

• 展示了矩阵如何变换基向量
• v₁ = (a11, a21) 是第一列
• v₂ = (a12, a22) 是第二列
• 蓝色区域表示面积

2. 行向量观点（右图）：

• 展示了坐标变换的视角
• w₁ = (a11, a12) 是第一行
• w₂ = (a21, a22) 是第二行
• 红色区域表示面积

3. 关键性质：

• 两种视角下计算出的行列式值相同
• |det(A)| = |a11a22 - a12a21|
• 当行列式为0时，两种视角下的向量都会共线

选择用哪种视角主要取决于具体应用场景：

• 在研究线性变换时，列向量视角更自然
• 在研究坐标变换时，行向量视角可能更直观

3. 三维矩阵的行列式的意义

1. 基本概念：

• 三维行列式是由三个向量 v₁, v₂, v₃ 围成的平行六面体的有向体积
• v₁ = (a11, a21, a31) 第一列向量
• v₂ = (a12, a22, a32) 第二列向量
• v₃ = (a13, a23, a33) 第三列向量

2. 几何意义：

• |det(A)| = 平行六面体的体积
• det(A) > 0：三个向量构成右手系
• det(A) < 0：三个向量构成左手系
• det(A) = 0：三个向量共面或共线（体积为0）

3. 计算公式：

  
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) 
- a12(a21a33 - a23a31) 
       + a13(a21a32 - a22a31)
  

4.案例背景：图像人脸识别中的特征提取

假设我们有一个人脸图像数据集，每张图片是64×64像素的灰度图，我们需要进行特征提取和降维来提高识别效率。

让我详细解释这个案例的各个方面：

1. 为什么选用行列式

在PCA中，行列式具有多重重要作用：

1. 可逆性判断：

• 行列式为0表示矩阵不可逆，存在线性相关性
• 这帮助我们发现数据中的冗余特征

2. 特征值计算：

• 特征方程 |A-λI| = 0 中使用行列式
• 特征值反映了数据在各个方向上的方差

3. 体积解释：

• 行列式的几何意义是变换后的体积
• 帮助理解数据分布的"扩展程度"

2. 使用行列式的思路和技巧

1. 分解策略：

  
# 对于2×2矩阵
def get_eigenvalues(A):
    trace = A[0,0] + A[1,1]  # 迹
    det = A[0,0]*A[1,1] - A[0,1]*A[1,0]  # 行列式
    sqrt_term = np.sqrt(trace**2 - 4*det)
    return (trace + sqrt_term)/2, (trace - sqrt_term)/2
  

2. 数值稳定性：

• 使用SVD代替直接求行列式
• 处理大矩阵时避免直接计算行列式

3. 降维思路：

• 根据特征值大小排序
• 选择最大的k个特征值对应的特征向量

3. 完整使用过程

1. 数据预处理：

  
# 中心化
X_centered = X - X.mean(axis=0)
# 计算协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(X_centered.T)
  

2. 特征值分解：

  
# 计算特征值和特征向量
eigenvals, eigenvecs = np.linalg.eigh(cov_matrix)
  

3. 选择主成分：

  
# 排序并选择前k个
k = 2  # 降到2维
idx = eigenvals.argsort()[::-1]
top_eigenvecs = eigenvecs[:, idx[:k]]
  

4. 数据投影：

  
# 降维
X_reduced = X_centered.dot(top_eigenvecs)
  

4. 注意事项

1. 数值稳定性：

• 大矩阵行列式计算可能不稳定
• 考虑使用对数行列式
• 使用SVD等替代方法

2. 维度灾难：

• 高维空间中行列式计算开销大
• 需要考虑稀疏矩阵优化

3. 特征选择：

• 不要机械地选择特征值最大的
• 结合实际问题和方差贡献率

4. 数据预处理：

• 中心化和标准化很重要
• 异常值会显著影响行列式

5. 解释性：

• 保持对行列式几何意义的理解
• 结合具体业务解释结果

本文原文来自CSDN