曲面方程的概念与应用

曲面方程的概念与应用

曲面方程是解析几何中的重要概念，它描述了空间中点的集合所满足的数学关系。本文将围绕两个基本问题展开：一是已知曲面曲线的几何特征建立方程；二是已知方程研究曲面曲线的形状和性质。通过多个具体例题，详细讲解曲面方程的建立和分析方法。

曲面方程的基本概念

本节介绍曲面及曲线方程概念，主要围绕下面两个基本问题：

1. 已知曲面曲线上点的几何特征，建立方程；
2. 已知曲线曲面上的点的坐标所满足的方程，研究曲面曲线的形状和性质。

我们着重介绍一些常见的曲面曲线及其方程。

我们要研究的两个基本问题是：

（1）已知曲面作为点的轨迹时，建立这曲面的方程；

（2）已知一个三元方程，研究该方程所表示的几何图形，即曲面形状，着重介绍一些常见的曲面。

先讨论第一个基本问题：建立几种常见的曲面方程。

空间一动点到定点的距离为定值，该动点的轨迹称为球面，定点叫做球心，定值叫做半径。

例1

建立球心在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，半径为 $R$ 的球面的方程。

解 本题实质是求到定点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 的距离为定长 $R$ 的点的轨迹方程，即球面的方程。

设 $M(x,y,z)$ 是球面上任意一点，则有 $|M_0M|=R$，即

$$
\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}=R
$$

或

$$
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.
$$

例2

求与原点 $O$ 及 $M_0(2,3,4)$ 的距离之比为 $1:2$ 的点的全体所组成的曲面方程。

解 设 $M(x,y,z)$ 是曲面上任一点，根据题意有 $\frac{|MO|}{|MM_0|}=\frac{1}{2}$，

即 (根据点到平面距离)

$$
\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}}=\frac{1}{2},
$$

所求方程为

$$
\left(x+\frac{2}{3}\right)^2+(y+1)^2+\left(z+\frac{4}{3}\right)^2=\frac{116}{9}.
$$

例3

求到两定点 $A(1,2,3)$ 和 $B(2,-1,4)$ 等距离的点的几何轨迹。

解 设 $M(x,y,z)$ 是所要求的曲面上任意一点，则由题意

$$
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(x-2)^2+(y+1)^2+(z-4)^2,
$$

化简得

$$
2x-6y+2z-7=0.
$$

由方程可知，这是一个平面。

以上是从已知曲面（轨迹）建立其方程，再看两个由已知方程研究它所表示的曲面的例子。

例4

方程 $x^2+y^2+z^2-2x+4y=0$ 表示什么样的曲面？

解 原方程可写成如下形式

$$
(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=5，
$$

可看出它表示球心在点 $M_0(1,-2,0)$，半径 $R=\sqrt{5}$ 的球面。

例5

方程 $z=(x-1)^2+(y-2)^2-1$ 的图形是怎样的？

解 根据题意有 $z\ge -1$，用平面 $z=c$ 去截图形得圆：

$$
(x-1)^2+(y-2)^2=1+c\quad(c\ge -1),
$$

当平面 $z=c$ 上下移动时，得到一系列圆，圆心在 $(1,2,c)$，半径为 $\sqrt{1+c}$，

半径随 $c$ 的增大而增大。图形上不封顶，下封底。如上图所示。