数列的递推公式

数列的递推公式

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/gteEOG0kfx.html

数列的递推公式

如果已知数列${a_n}$的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

注：

1. 并不是所有数列都有递推公式。
2. 递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号$n$的恒等式，即用符合要求的正整数依次去替换$n$，就可以求出数列的各项。
3. 用递推公式给出一个数列，则必须给出：

• 基础——数列${a_n}$的第一项（或前几项）。
• 递推关系——数列${a_n}$的任意一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（$n\geqslant 2$）（或前几项）间的关系，并且这个关系可以用等式来表示。

数列的递推公式的相关例题

已知数列${a_n}$满足递推关系$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，$a_1=\frac{1}{2}$，则$a_{2017}=$____

A．$\frac{1}{2016}$ B．$\frac{1}{2018}$
C．$\frac{1}{2017}$ D．$\frac{1}{2019}$

答案：B

解析：由$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，所以$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+1}{a_n}=\frac{1}{a_n}+1$。

则$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=1$，又$a_1=\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{a_1}=2$。

所以数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是以2为首项，1为公差的等差数列。

所以$\frac{1}{a_n}=n+1$，则$a_n=\frac{1}{n+1}$。

所以$a_{2017}=\frac{1}{2018}$。

故选B。