数字电子技术基础：逻辑函数的基本公式、常见公式以及基本定理
数字电子技术基础：逻辑函数的基本公式、常见公式以及基本定理
数字电子技术是现代电子工程的重要组成部分，广泛应用于计算机、通信、控制等领域。逻辑函数作为数字电子技术的基础，其基本公式和定理对于理解和设计数字电路至关重要。本文将系统地介绍逻辑代数的基本公式、常用公式以及三个核心定理（代入定理、反演定理和对偶定理），帮助读者建立扎实的理论基础。
1 逻辑代数的常用公式和基本公式
1.1 基本公式
几种常见的逻辑表达式：
序号 | 公式 | 序号 | 公式 |
|---|---|---|---|
1 | 0.A=0 | 10 | 1'=0;0'=1 |
2 | 1.A=A | 11 | 1+A=1 |
3 | A.A=A | 12 | 0+A=A |
4 | A.A'=0 | 13 | A+A=A |
5 | A.B=B.A | 14 | A+A'=1 |
6 | A.(B.C)=(A.B).C | 15 | A+B=B+A |
7 | A.(B+C)=A.B+A.C | 16 | A+(B+C)=(A+B)+C |
8 | (A.B)'=A'+B' | 17 | A+B.C=(A+B).(A+C) |
9 | (A')'=A | 18 | (A+B)'=A'.B' |
（上面表格参考阎石主编的《数字电子技术基础》24页的表2.3.1）
在上面的公式中，（8）、（17）和（18）需要证明，其余公式较容易能够看出来。
对于公式（8）和（18）是德.摩根定律，一定不能用公式法直接证明，因此需要利用真值表来验证。
对于公式（8）列出真值表得：
A | B | A' | B' | AB | (AB)' | A'+B' |
|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
通过上面的表格的结果可以看到：(AB)'=A'+B'，因此可以得出公式（8）正确。
对于公式（18）列出真值表得：
A | B | A' | B' | A+B | (A+B)' | A'B' |
|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
而对于公式（17）来说，可以用公式法或者用真值表法来证明。
如果使用公式法：
右边=A+AB+AC+BC
=A(1+B+C)+BC
=A+B.C=左边
或者用真值表法：
A | B | C | BC | A+B | A+C | A+BC | (A+B)(A+C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
由真值表的结果可以看到A+BC和(A+B)(A+C)结果相同，可以得到公式（17）正确。
此处的德.摩根定理在后面的内容中应用较多，需要重点记忆：
(AB)'=A'+B'；
(A+B)'=A'B'
1. 2 若干常用公式
序号 | 公式 |
|---|---|
18 | A+A.B=A |
19 | A+A'.B=A+B |
20 | A.B+A.B'=A |
21 | A.(A+B)=A |
22 | A.B+A'.C+B.C=A.B+A'.C;A.B+A'C+BCD=A.B+A'.C |
23 | A.(A.B)'=A.B';A'.(A.B)'=A' |
（上面表格参考阎石主编的《数字电子技术基础》24页的表2.3.3）。
下面对于常用公式进行证明：
对于公式（18）：
左边=A+AB=A(1+B)=A=右边对于公式（19）：
右边=A+(A+A')B=A+AB+A'B=A(1+B)+A'B=A+A'B=左边对于公式（20）：
左边=A(B+B')=A=右边对于公式（21）：
左边=A(A+B)=A+AB=A(1+B)=A=右边对于公式（22）的第一个公式：
左边=AB+A'C+(A'+A)BC=AB+A'C+A'BC+ABC=AB(1+C)+A'C(1+B)=AB+A'C=右边对于公式（22）的第二个公式：
左边=AB+A'C+(A+A')BCD=AB+A'C+ABCD+A'BCD=AB(1+CD)+A'C(1+BD)=AB+A'C=右边对于公式（23）的第一个公式：
左边=A(AB)'=A(A'+B')=AA'+AB'=AB'=右边对于公式（23）的第二个公式：
左边=A'(A'+B')=A'+A'B'=A'(1+B')=A'=右边
2 逻辑代数的基本定理
逻辑代数中有三个基本定理，分别是代入定理、反演定理和对偶定理。
2.1 代入定理
代入定理的定义为：在任何一个包含变量 A 的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有 A 的位置，则等式仍然成立。
例如，对于(A+B)'=A'B'，当有复杂的式子去代替式中的A或者B时：
再例如(AB)'=A'+B'，用BCD来替换前面式子中的B可得：
再例如对于A+BC=(A+B)(A+C)，使用BCD去替换公式中的BC得：
在上面的公式中，由BCD替换原逻辑式中BC，得到A+BCD=(A+B)(A+CD)，再使用一次代入定理，用CD来替换原公式中的BC得：A+CD=(A+C)(A+D)。
2.2 反演定理
在逻辑代数中，利用反演定理可以方便计算已知逻辑式的反逻辑式。
对于一个已知的逻辑式Y，想要求出它的反逻辑式Y’，可将Y中所有的"."换位”+“，"+"换位"."，0换为1，1换为0，原变量换成反变量即可。这个规律就是反演定理。
转换过程的细节图如下所示：
在反演定理的变换过程中，优先级为先括号里，然后与，最后或。
在逻辑代数中的摩根定理就是反演定理的一种形式，摩根定理符合反演定理。
下面对于一些逻辑计算其反演式。
（1）Y=A+BC
（2）Y=AC+B’C'
（3）Y=(A+B')C+D'
（4）Y=(A+B')(B+C'D) (C‘+D')
在计算到这一步之后，通过观察上面的式子，可以看到第二步的逻辑式由三个子式组成，因此可以分别计算这三个式子反逻辑式：
代入上方总的逻辑式可以得到：
（5）Y=A(B+C)+CD
(6)Y=((AB'+C)'+D')'+C
2.3 对偶定理
对偶定理是一个在多个数学领域如射影几何、布尔代数、线性规划等中都存在的重要定理，在数字电路设计有广泛应用。
在数字逻辑中，通过对偶定理可以将逻辑表达式简单化，对偶定理可以将原来的逻辑表达式转换为对偶式，提供新的思路。
若两个逻辑式相等，则它们的对偶式相等，就是对偶定理。对偶定理的变换规律式将原逻辑式中的"."变"+"，”+“变”.“，0变为1，1变为0，变量不发生改变，变化过程的示意图如下所示：
在上面的变换过程中，优先级也是先括号里，然后与，最后或。
例如要计算Y=A+BC的对偶式，转换过程如下所示：
对于要计算Y=AB+AC的对偶式，转换过程如下所示：
由上面个两个转换过程可以看到，Y=A+BC和Y=AB+AC是互为对偶式的。
再例如Y=AB+CD，计算其对偶式的过程如下所示：
利用反演定理计算Y‘为(A'+B')(C'+D')。
这里设Y=(A'+B')(C'+D')，计算其对偶式为：
对比上面两张图片的内容可知，两图中的已知逻辑式互为反逻辑式，而对应的对偶式同样也是互为反逻辑式。
下面对于几个式子计算器对偶式：
（1）Y=A+B+C
（2）Y=A+BCD
（3）Y=((A+B)C')(A+D)
（4）Y=AB+(A+D)(B+C)E