导数与微分（高等数学）
导数与微分（高等数学）
导数概念
平均变化率
直线AB的斜率k表示函数的平均变化率。
瞬时变化率
关于导数的两个公式
导数存在的充要条件
函数求导法则
基本初等函数的导数公式
函数可导性与连续性的关系
如果该函数在点x处可导，则一定连续；如果该函数在点x连续，却不一定可导。例如：
反函数的求导法则
例题
复合函数的求导法则
例题
高阶导数
根据物理概念我们可以知道，变速直线运动v是位置s对时间t的导数。而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数。
（s')'叫做s对t的二阶导数，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数……一般地，（n-1）阶导数称为n阶导数。
高阶导数的求法
归纳法
用求导法多次连接地求导数，且在过程中寻求它的某种规律。
例题
公式法
1. 高阶导数相加减
例题
莱布尼兹公式
类似于二项式展开，公式如下：
例题
隐函数及参数方程确定函数求导
什么是隐函数？
y与x关系隐藏在一个等式中，例如，这个方程是半径为2的圆的方程。
隐函数的求导法则
把y看作与x相关的量y=f（x），求导时将y看做复合函数进行求导。
一、可代入x值与y值的隐函数求导
二、几何函数的隐函数求导
三、隐函数的高阶导数
对数求导法（一般用于指数函数）
参数方程的函数求导
我们可以使用一种方法直接给参数方程求导，一般参数方程关系式如下：
若将x，y同时看成与t相关的复合函数，则可以进行y与x求导如下：
倘若y与x二阶求导，则式子如下：
例题
相关变化率
设x =x(t)及y=y(t)都是可导函数,而变量x与y间存在某种关系,从而变化与间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率研究这两个变化率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率。
例题
函数的微分
定义：
设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0，及x0+在这区间内,如果函数的增量可表示为：
其中A是不依赖于的常数，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，A叫做函数y=f(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分,记作dy ,即
如何理解定义中的公式？
函数微分的充要条件
由此我们推出函数在x0可导和函数在x0可微是充分必要条件。
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
函数y=f（x）在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df（x）；函数微分表达式如下：
可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分。
一、基本初等函数的微分公式
二、函数和、差、积、商的微分法则
三、复合函数的微分法则
由上方式子可见，无论u是自变量还是中间变量，微分形式保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
例题
四、微分在近似计算中的应用
1.函数的近似计算
我们可以利用微分将一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替，之前说过，若y=f（x0）在点x0处的导数不为0时，且x很小，我们有公式如下：
这个式子也可以写为：
例题
例题
2.误差估计
绝对误差与相对误差：
若某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与|a|的比值叫做a的相对误差。
实际工作中，若某个量的精确值是A，测得其近似值是a，又知道其误差不超过，如下：
那么叫做测量A的绝对误差限，而叫做测量A的相对误差限。
例题