【气动学】MATLAB实现高斯伪谱法的火箭飞行轨迹模拟

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@小白创作中心

【气动学】MATLAB实现高斯伪谱法的火箭飞行轨迹模拟

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CSDN

https://blog.csdn.net/matlab_dingdang/article/details/144716449

本文探讨了利用高斯伪谱法 (Gauss Pseudospectral Method, GPSM) 模拟火箭飞行轨迹的方法，并通过MATLAB编程实现其数值求解。GPSM 作为一种高效的数值计算方法，能够以较少的网格点获得高精度的数值解，特别适用于求解具有高阶导数和复杂边界条件的控制系统问题，如火箭飞行轨迹优化。本文将详细阐述GPSM的基本原理，建立火箭飞行动力学模型，并结合MATLAB程序，对火箭的上升段飞行轨迹进行模拟，最终验证GPSM在火箭飞行轨迹模拟中的有效性及优越性。

1. 引言

火箭飞行轨迹模拟是航天工程中的一个重要课题，精确模拟火箭的飞行过程对于火箭的设计、控制和优化至关重要。传统的数值方法，如欧拉法和龙格-库塔法，虽然简单易懂，但在处理高阶导数和边界条件时，往往需要大量的网格点才能保证精度，计算效率较低。而高斯伪谱法 (GPSM) 作为一种谱方法，其核心思想是将控制系统的状态变量表示为一组全局正交多项式的线性组合，通过在高斯点上进行逼近，能够以较少的网格点获得高精度的数值解。因此，GPSM 成为解决火箭飞行轨迹模拟等复杂动力学问题的一种高效工具。本文将重点阐述利用GPSM结合MATLAB进行火箭飞行轨迹模拟的过程。

2. 高斯伪谱法基本原理

高斯伪谱法基于Legendre多项式或Chebyshev多项式，将状态变量在时间或空间域上用这些多项式的线性组合来逼近。该方法的关键在于选择高斯点作为求解节点，这些节点是对应多项式的根。在这些高斯点上，对微分方程进行离散化，转化为代数方程组进行求解。相比于有限差分法，GPSM具有更高的精度和效率，特别是在求解具有高阶导数和复杂边界条件的问题时。

3. 火箭飞行动力学模型

火箭的飞行过程是一个复杂的动力学过程，受到重力、推力、空气阻力等多种因素的影响。为了简化模型，本文采用点质量模型，忽略火箭姿态变化的影响。考虑以下因素：

地球引力
火箭推力
空气阻力
大气密度随高度变化

4. MATLAB实现

利用MATLAB编程实现GPSM求解火箭飞行轨迹，主要包括以下步骤：

参数设定：定义火箭参数（质量、推力、阻力系数、参考面积等）和大气参数（空气密度随高度变化关系）。
高斯点和权重计算：利用MATLAB内置函数计算Legendre多项式的根（高斯点）和相应的权重。
离散化：将火箭运动方程在高斯点上进行离散化，得到代数方程组。
求解代数方程组：使用MATLAB的数值求解器（例如fsolve或ode45）求解代数方程组，得到火箭在各高斯点上的位置和速度。
插值：使用Legendre插值多项式对求解结果进行插值，得到火箭飞行轨迹的完整曲线。
结果可视化：利用MATLAB的绘图功能，将模拟结果以图形的方式展现出来，例如绘制火箭的飞行轨迹、速度曲线等。

5. 结果与讨论

通过MATLAB程序模拟，可以得到火箭在不同参数设置下的飞行轨迹。通过与其他数值方法的结果进行比较，可以验证GPSM的精度和效率。GPSM在处理具有复杂气动特性和边界条件的火箭飞行问题时，展现出显著的优势，能够以较少的网格点获得高精度的模拟结果，从而提高计算效率。

6. 结论

本文详细介绍了利用高斯伪谱法模拟火箭飞行轨迹的方法，并通过MATLAB编程实现了数值求解。结果表明，GPSM是一种高效且精确的数值方法，能够有效地模拟火箭的飞行过程，为火箭设计和控制提供重要的参考。未来研究可以考虑将更复杂的因素，例如风的影响、姿态控制等，纳入到火箭动力学模型中，进一步提高模拟精度。此外，可以探索将GPSM与优化算法结合，实现火箭飞行轨迹的优化设计。

部分代码

mu=setup.mu; %地球引力常数
%无量纲化参数
rc=setup.rc;
vc=setup.vc;
n=setup.n; %LG点个数
ns=setup.ns; %状态变量个数
nu=setup.nu; %控制变量个数
np=length(n); %阶段数
nx=[0 0 0 0];
nx(1)= n(1)*(ns(1)+nu(1))+2*ns(1);
nx(2)=nx(1)+(n(2)*(ns(2)+nu(2))+2*ns(2));
nx(3)=nx(2)+(n(3)*(ns(3)+nu(3))+2*ns(3));
nx(4)=nx(3)+(n(4)*(ns(4)+nu(4))+2*ns(4));
setup.nx=nx;
xi{1}=x(1:nx(1));
xi{2}=x(1+nx(1):nx(2));
xi{3}=x(1+nx(2):nx(3));
xi{4}=x(1+nx(3):nx(4));
Xi{np}=[];
Ui{np}=[];
Fi{np}=[];
DXi{np}=[];
t0=setup.phase.t0;
tf=setup.phase.tf;
D=setup.phase.D;
w=setup.phase.w;
tf{np}=x(end);
for i1=1:np
X=ones(n(i1)+2,ns(i1));
for i2=1:ns(i1)
X(:,i2)=xi{i1}((i2-1)*(n(i1)+2)+1:i2*(n(i1)+2),1);
end
Xi{i1}=X;
U=ones(n(i1),nu(i1));
for i3=1:nu(i1)
U(:,i3)=xi{i1}(ns(i1)*(n(i1)+2)+(i3-1)*n(i1)+1:ns(i1)*(n(i1)+2)+i3*n(i1),1);
end
Ui{i1}=U;
F=MyDeo(X,U,i1);
Fi{i1}=F;
%动力学约束
0 0 0 0 0 setup.mdry{2}];
ceql3=Xi{3}(end,:)-Xi{4}(1,:)-[0 0 0 0 0 0 setup.mdry{3}];
ceql=[ceql1';ceql2';ceql3'];
%边界条件
ceqs=Xi{1}(1,:)-setup.X0';
ceqsr=ceqs';
Rf=Xi{4}(end,1:3)'*rc;
Vf=Xi{4}(end,4:6)'*vc;
oef=launchrv2oe(Rf,Vf,mu);
ceqo=setup.oe(1,1:5)-oef(1:5,:)';
ceqo(1)=ceqo(1)/100000;
ceq=[ceqi{1};ceqi{2};ceqi{3};ceqi{4};ceqsr;ceql;ceqo'];
c=[ci{1};ci{2};ci{3};ci{4}];
end