数学推理方法：从合情推理到演绎推理

数学推理方法：从合情推理到演绎推理

数学推理是数学学习中的重要环节，它帮助我们从已知信息出发，通过逻辑推理得到新的结论。本文将系统地介绍数学推理的主要方法，包括合情推理、演绎推理、命题证明方法以及直接证明和间接证明等，并通过具体例题帮助读者巩固所学知识。

数学推理方法

结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。今天，就给大家带来数学推理方法。

合情推理：

1. 归纳推理：是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；
2. 类比推理：是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

演绎推理：

演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。

命题证明

常规推导方法

从公理或已知的命题推导出该命题成立，即证明该命题是已知公理的子命题。要点是要理清命题以及给出条件的含义，找出该命题的等效含义和条件，最好是转化为数值等式关系，然后符号演算，这种演算方法通用性强，在一些特殊情况下也转化为直观的几何关系，通过直观的几何关系证明，但几何的方法需要灵感，不通用。

归谬方法

假设该命题不成立，推导出矛盾的命题，从而证明该命题成立。适用的场合比较有限，不作介绍。

推理证明法

直接证明

直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。

• 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。
• 分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。

间接证明

间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

训练试题

1. 下列符合三段论推理形式的为(　　)

• A. 如果p⇒q，p真，则q真
• B. 如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c
• C. 如果a∥b，b∥c，则a∥c
• D. 如果a>b，c>0，则ac>bc

解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.

答案：B

2. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(　　)

• ①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;
• ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;
• ③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意 两条棱的夹角都相等.

解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.

答案：C