100个红绿球，让2万人集体翻车！数学家「罐中难题」引爆全网讨论
100个红绿球，让2万人集体翻车！数学家「罐中难题」引爆全网讨论
数学家Daniel Litt提出两个概率谜题：100个红绿球罐中谜题和抛硬币得分问题。这两个问题看似简单，却让大多数人做出了错误的选择。其中，100个红绿球的谜题让80%的人做错，而抛硬币得分问题更是只有10%的人答对。这些反直觉的概率问题不仅引发了全网大讨论，还催生了数篇学术论文，展示了数学直觉的局限性和概率推理的复杂性。
100个红绿球的「罐中谜题」
你有一个装有100个球的罐子，罐子看不到里面，其中有n个红球，「100-n」个绿球。n为「0,100」之间的一个随机数。你伸手进入罐子并取出一个球，它是红色的，把它扔掉后，如果你现在再取出一个球，它更有可能是红色还是绿色？或者两种颜色的可能性是相等的？
这道题在网上引发热议，目前已经有两万多人参与投票，但只有22%的人做对了。
正确答案：红色
为什么答案不是绿色，或二者概率相等呢？Litt给出了一个直观的解释：
想象一下，一开始有101个球排成一行，而非100个球，再随机挑选一个球。然后，把它左边的球涂成绿色，右边的球涂成红色，再把手里的球扔掉，便剩下100个球。然后，随机选择第二个球，这个球对应原问题中的第一个球。问题告诉你，你选了一个红球，所以它在你扔掉的球的右边。现在挑选第三个球，这个球有三种可能的位置：
- 在第一个球的左边
- 在第一个球和第二个球之间
- 在第二个球的右边
在这三种可能性中，有两种情况下，第三个选中的球是红色的。所以球是红色的概率是2/3。
抛硬币得分问题
Alice和Bob各抛硬币100次（正面是H，反面是T）。每当连续出现两个正面HH时，Alice得1分；出现正反面HT时，Bob得1分。因此，现在，二人已经得到了「THHHT」，因此Alice得2分，Bob得1分，最后谁更有可能获胜？
正确答案：Bob
一个直觉是，Alice可以在短时间内得很多分。例如，在连续出现正面HHHHHHH情况下，她在第一次之后的每次抛掷中都得分。在100次抛掷中，Alice的分数可以高达99，但Bob最多只能得50分。所以Alice会以压倒性的优势获胜，这意味着她在游戏中浪费了一些期望得分。相较之下，Bob可能会赢得更多比赛，但每次获胜优势较小。通过模拟验证，可以证明这个结果是正确的。
为什么概率问题如此反直觉？
Litt表示，关键点在于初始设置中的概率分布。也就是说，罐子问题是完全依赖于，红球数量是根据所谓的均匀分布（即从瓮中抽取）来选择的。当抽出的是一个红球，告诉你的信息是，自己处于一个「红色的世界」中，但也只是因为Litt这样设置的问题。但若是，根据二项分布来选择球的颜色——即通过抛硬币来选择每个球的颜色。那么，即便你知道了第一个球是红色的，但对下一个球来说，没有什么含义，进而不会影响后续抽取概率。
专家解读
一位数学博士Sridhar Ramesh将抛硬币问题比作成一个「随机行走」的问题，其中向上和向下的步骤概率相等，但速度分布不同。从中可以获得的关键观察是，返回原点所需的时间，与第一步向上还是向下无关。因为反向执行相同的步骤，也有相同的概率。由此，可以得出，对于任何固定的行走时间，最后一步离开原点的方向（向上或向下）的概率是相等的。
结语
这些概率谜题不仅展示了数学直觉的局限性，还激发了数学家、计算机科学家、经济学家等专业人士的解题热情，甚至催生了一系列相关论文。Litt表示，概率论与现实世界的活动有着明显的相关性，我们必须不断地观察世界并评估可能性，然后决定行动方案。然而，人们的直觉在概率问题上往往会出现反直觉的现象，这也正是概率论的魅力所在。
