在"增长的规律"练习中发展代数思维

在"增长的规律"练习中发展代数思维

代数思维是数学学习中的重要组成部分，它帮助学生从具体到抽象，从特殊到一般地理解数学问题。本文通过"增长的规律"这一主题，探讨了如何在小学阶段培养学生的代数思维，特别是通过观察、归纳和概括等方法，帮助学生理解数学中的规律性问题。

代数常被称为"概括的算术"。学生要对运算或规律进行概括，就需要观察多个例子并注意到这些例子中相同的"结构"，寻找"结构"应该是学习"数"的日常部分。其中，规律存在于数学的所有领域。发现规律以及学习描述、解释和扩展规律是代数思维的一部分。

以"后院的小鸟"问题为例：
"五只小鸟落在你的后院里，其中一些落在树上，另一些落在喂食器上。树上、喂食器上可能分别有多少只小鸟？"

这里5只小鸟在树上和喂食器上有6种分解方式，7只小鸟有8种方式，10只小鸟则有11种方式。到了小学高年级，就可以有这样的解释："对于任意数量的小鸟（n),有（n+1）种方法，因为喂食器上可能有0，1，2，……，n只小鸟。

从具体的问题入手，有助于学生列举各种数的组合，从而概括规律。为了扩大讨论范围，可以提出这样的问题："如果有340只小鸟呢？"这个规律还适用吗？如果有20种不同的分解方式，那么有多少只小鸟呢？这有什么规律吗？"

在字母表示数这个单元中，经常会遇到关于"增长的规律"这类题目。增长规律中元素的数量会一步步地循序增加。研究增长规律的重点是分析元素的个数是如何随新元素的添加而变化的。

几何图形的增长规律是很好的范例，因为规律可以通过图形显现且学生可以动手操作。这种推测数量的练习可以参考以下的提问，这些提问可以帮助学生对函数情境进行推理。

如，第4个图形需要多少根火柴棒？第20个呢？第100个呢？说说你的想法？
任意一个图形需要多少根火柴棒？请用文字说明。
请用符号表示，第n个图形需要多少根火柴棒。

在探索增长的规律时，会注意到三种形式。

首先，递推规律。就是能够看到规律是一步步变化的。
其次，共变思维。是指能够注意到一个变量跟着另一个变量一起变或步调一致协同变化。
最后，对应关系。是用函数规则表示两个量之间的关系。换句话说，它要求观察整个表中的数据，看看如何输入（n)生成输出，在上表中，规则是"5n+1"。

例如，要找出第100个图形需要的小棒根数，如果用递推规律，则需要找出所有之前的99个图形的小棒数；但如果注意到n和火柴棒根数（5n+1)是如何对应的，就可以直接利用该规则计算出第100个图形所需要的小棒数。

当学生探索增长规律以及其他共变情况下，可以通过下面这样的提问来促进学生函数思维的发展。

什么在变？什么保持不变？
比较的是哪些量？
怎么用表格表示你得到的信息？
从表格中发现了什么关系？
怎么用图表示得到的信息？
从图中发现了什么关系？
能用语言或者符号来表示这个规律吗？

可见，在小学这个单元中，其实已经渗透了代数思维和函数思想。一般情况下，可以用四种方式表示增长的规律：实物或图画；表格；文字；符号公式。以后还可以用图象有效地说明关系。这里重点就是学生要在表征过程中去体验，理解不同表征方式建立它们的联系。

既然学生已经有了用火柴棒搭六边形的经验，并且用不同的方法去思考，进而得出不同的字母式，当然最终都可以化简为（5n+1）。那我们还可以把搭三角形、正方形、五边形、六边形等整合在一起，通过对比去发现它们之间的共同之处。