深入理解埃拉托色尼筛法与线性筛法

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@小白创作中心

深入理解埃拉托色尼筛法与线性筛法

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/2202_75569688/article/details/142813349

在计算素数的过程中，有两种经典的筛法：埃拉托色尼筛法（简称埃筛）和线性筛法（简称线筛）。它们都是用于在给定的范围内找到所有素数的高效算法。本文将通过示例代码，详细对比这两种方法的原理、实现及其时间复杂度。

1. 埃拉托色尼筛法

原理概述

埃拉托色尼筛法的基本思想是通过不断标记合数来筛选出素数。具体来说，对于每一个素数 p，从 p*p 开始标记所有的倍数为非素数，因为更小的倍数已经在之前被标记过。

代码实现

以下是埃筛法的 C++ 实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> isPrime(n + 1, 1);  // 初始化所有数为素数
    isPrime[0] = isPrime[1] = 0;    // 0 和 1 不是素数
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {  // 从 2 开始到 sqrt(n)
        if (isPrime[i]) {  // 如果 i 是素数
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {  // 标记 i 的所有倍数为非素数
                isPrime[j] = 0;
            }
        }
    }
    // 输出所有素数
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            cout << i << " ";
        }
    }
    
    return 0;
}

解析

时间复杂度：埃拉托色尼筛法的时间复杂度为 O(nlog⁡log⁡n)。虽然对于每个素数 p，我们需要从 p*p开始标记所有倍数，但通过跳过非素数的倍数，算法仍然具有非常好的效率。
空间复杂度：我们使用了一个大小为 n+1的数组来存储每个数是否是素数，因此空间复杂度为 O(n)。

输出示例

对于 n=30，输出结果为：

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

优缺点

优点：
实现简单。
适用于中等范围的素数筛选。
缺点：
存在重复标记。例如，6 既是 2 的倍数也是 3 的倍数，因此会被多次标记。
时间复杂度虽然是 O(nlog⁡log⁡n)，但不是最优的。

2. 线性筛法

原理概述

线性筛法通过优化标记过程，确保每个合数只会被它的最小素数因数标记一次，从而避免了重复标记。与埃拉托色尼筛法不同，线性筛法可以严格保持线性时间复杂度 O(n)。

代码实现

以下是线性筛法的 C++ 实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> prime;
    vector<int> isPrime(n + 1, 1);  // 初始化所有数为素数
    isPrime[0] = isPrime[1] = 0;    // 0 和 1 不是素数
    for (int i = 2; i <= n; i++) {  // 从 2 遍历到 n
        if (isPrime[i]) {  // 如果 i 是素数
            prime.push_back(i);  // 将 i 加入素数列表
        }
        for (int j = 0; j < prime.size(); j++) {
            int p = prime[j];
            if (p * i > n) break;  // 如果 p * i 超过了 n，停止标记
            isPrime[p * i] = 0;    // 标记 p * i 为非素数
            if (i % p == 0) break; // 如果 i 能被 p 整除，停止标记
        }
    }
    // 输出所有素数
    for (int i = 0; i < prime.size(); i++) {
        cout << prime[i] << " ";
    }
    
    return 0;
}