在球面上随机均匀分布点的算法

在球面上随机均匀分布点的算法

本文讨论了在球面上随机均匀分布点的三种算法，并通过Fortran代码和图形展示了每种算法的效果。文章内容涉及数学和编程，具有一定的专业性和实用性。

在球面上随机均匀分布点的算法是一个有趣且实用的问题，尤其是在计算机图形学、物理学模拟等领域。本文将介绍三种不同的算法，并通过Fortran代码和图形展示每种算法的效果。

第一种算法：旋转法

第一种方法是选取一个起始点(1,0,0)，然后依次绕着X、Y、Z轴随机旋转一定的角度。Fortran代码如下：

x=1  
y=0  
z=0  

!Step 1: Rotate about Z axis  
call RANDOM_NUMBER(rotval)  
rotval=rotval*2*pi  
xtmp=cos(rotval)*x-sin(rotval)*y  
ytmp=sin(rotval)*x+cos(rotval)*y  
x=xtmp  
y=ytmp  

!Step 2: Rotate about Y axis  
call RANDOM_NUMBER(rotval)  
rotval=rotval*2*pi  
xtmp=cos(rotval)*x-sin(rotval)*z  
ztmp=sin(rotval)*x+cos(rotval)*z  
x=xtmp  
z=ztmp  

!Step 3: Rotate about X axis  
call RANDOM_NUMBER(rotval)  
rotval=rotval*2*pi  
ytmp=cos(rotval)*y-sin(rotval)*z  
ztmp=sin(rotval)*y+cos(rotval)*z  
y=ytmp  
z=ztmp  

这种方法在点数较少时看起来还蛮均匀，但当点数增多时，就会发现点的分布并不均匀。例如，当有100000个点时，可以隐约看到有一个环状分布比较密集。

第二种算法：极坐标法

第二种方法是使用极坐标系来生成点。对应的Fortran代码如下：

call RANDOM_NUMBER(rotval)  
theta = pi*rotval  
call RANDOM_NUMBER(rotval)  
phi = 2*pi*rotval  
x=sin(theta)*cos(phi)  
y=sin(theta)*sin(phi)  
z=cos(theta)  

这种方法虽然简单，但会导致点在两极严重聚集。例如，当有10000个点时，分布如下所示：

第三种算法：Marsaglia方法

第三种方法是Marsaglia方法，这是最简单实用的方法。过程是，在(-1,1)区间内随机取两个值x1和x2，若这两个值的平方和大于等于1则重新选取。然后球面上的点的x、y、z的坐标用x1和x2就可以很简单得到。Fortran代码如下：

do while(.true.)  
call RANDOM_NUMBER(x1)  
call RANDOM_NUMBER(x2)  
x1=2*(x1-0.5D0)  
x2=2*(x2-0.5D0)  
if (x1**2+x2**2<1) exit  
end do  

x=2*x1*dsqrt(1-x1**2-x2**2)  
y=2*x2*dsqrt(1-x1**2-x2**2)  
z=1-2*(x1**2+x2**2)  

这种方法生成的点分布非常均匀完美。例如，当有10000个点时，分布如下所示：