控制理论基础：从传递函数到现代控制理论

控制理论基础：从传递函数到现代控制理论

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/persona5joker/article/details/146082821

控制理论是工程领域中一个重要的基础理论，广泛应用于各种控制系统的设计和分析中。本文将介绍控制理论的基础概念，包括系统的传递函数、方框图、稳定性判据、极点与系统性能等内容，并对比现代控制理论与经典控制理论的异同。

控制理论的发展过程

经典控制理论

经典控制理论（古典控制理论），也称为自动控制理论。1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究系统的频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。1948年伊文斯（W.R.Ewans）提出了复数域内研究系统的根轨迹法。建立在奈奎斯特的频率响应法和伊文斯的根轨迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论（或自动控制理论）。从二十世纪四十年代到五十年代末，经典控制理论的发展与应用使整个世界的科学水平出现了巨大的飞跃，几乎在工业、农业、交通运输及国防建设的各个领域都广泛采用了自动化控制技术。

经典控制理论的特点

1. 把系统当作“黑箱”，不反映黑箱内系统内部结构和内部变量，只反映外部变量，即输入输出间的因果关系；
2. 以传递函数为基础，研究系统外部特性，属于外部描述，不完全描述；
3. 主要采用频域法，建立在根轨迹和奈奎斯特判据等基础之上的；
4. 局限性：

• 仅局限于线性定常系统，不适合非线性和时变系统
• 仅局限于单输入单输出系统（SISO系统）
• 只能研究确定性的系统，不适合随机系统
• 无法考虑系统的初始条件（传递函数的定义）
• 是分析方法而不是最佳的综合方法，以试凑法为主，满足性能指标为目的，无法设计出最优的系统，仅针对某个性能指标，设计方案多样

现代控制理论的产生和发展

在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出现了对多输入多输出系统、非线性系统和时变系统的分析与设计问题的解决需求。越来越复杂的系统，经典控制理论已不能胜任，于50年代末60年代初出现了现代控制理论，是建立在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。主要标志：

1. 1965年，R.Bellman提出了寻求最优控制的动态规划方法。
2. 1958年，R.E.Kalman采用状态空间法分析系统，提出能控性、能观测性、Kalman滤波理论
3. 1961年，庞特里亚金极大值原理。

现代控制理论的优点

1. 既适合线性定常系统，也适合非线性系统
2. 既适合SISO系统，也适合MIMO(多输入多输出)系统
3. 既适合确定性的系统，也适合随机系统
4. 考虑了初始条件，系统状态可以由初始条件和输入来刻划
5. 分析综合方法，可实现最优控制

大系统理论和智能控制理论

大系统：规模庞大、结构复杂、变量众多的信息与控制系统。
智能控制：模仿人智能的工程控制与信息处理系统。

系统的传递函数

拉普拉斯变换

定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用G(s)表示。

一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：

y(t)为系统的输出，u(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：

分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即m≤n，是有理真分式，若m>n,我们就说这是物理不可实现的系统。

常用函数的拉普拉斯变换

1. 指数函数
2. 阶跃函数：A=1 单位阶跃函数
3. 斜坡函数：A=1 单位斜坡函数
4. 抛物线函数：A=1 单位抛物线函数
5. 正弦函数
6. 余弦函数
7. 单位冲激函数
8. 幂函数

常用的拉普拉斯变换定理

1. 平移定理
2. 微分定理
3. 积分定理
4. 终值定理
5. 初值定理
6. 卷积定理

拉普拉斯反变换

部分分式展开法
对于控制理论中的问题，F(s)常见如下形式：

1. 只包含不相同的极点部分分式展开法
2. 包含共轭复数极点的部分分式展开法
3. 包含多重极点的部分分式展开法

方框图

每个方框代表系统中的一个环节，各方框之间、系统与外部之间的联系由单方向指向的有向线段表示。方框图化简：梅逊（Mason）增益公式。

绝对稳定性与相对稳定性

稳定性的基本概念：

图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A，当小球受到外力作用后偏离A，例如到B，当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)就是不稳定的。

稳定性的定义：任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复原平衡状态或在新的状态达到平衡，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。稳定性分析有以下几种方法：

1. 李雅普诺夫稳定分析法
2. 特征值判据法
3. 代数判据法
4. 根轨迹法
5. 频率稳定判据法

对传递函数描述的系统，当系统传递函数的全部极点都具有负实部时，系统的零状态响应是稳定的。

劳斯判据

Routh稳定判据：系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各项元素均为正。特征方程各项系数为正，且不缺项。

特征方程具有正实部根的个数等于Routh表第一列中系数改变符号的次数。

1. 列出系统特征方程：

上式中所有系数均为实数，并设

2. 按系统特征方程列写劳斯行列表：

在进行行列表计算时，为了运算方便，可将一行中各数都乘以一个正数，不影响稳定性判断

3. 考察行列表

若第一列各数均为正数，则系统的所有特征根均在根平面的左半平面，此系统稳定。若第一列中有负数则说明系统不稳定，第一列中符号变化的次数表示右半平面根的个数。

极点与系统性能

一阶系统的动态响应

一阶系统传递函数：

典型系统：电炉、液位
一阶系统框图：

单位阶跃响应：在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。

响应曲线具有非振荡特征：

• t=T, y(t)=0.632;
• t=2T, y(t)=0.865;
• t=3T, y(t)=0.95;
• t=4T, y(t)=0.982;

一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值1所需的时间应恰好为T。一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其时域性能指标主要以T来衡量，T的长短反映了系统过程的快慢。

由以上可知：

• t=3T（对5%的误差）
• t=4T（对2%的误差）

因此，T越小，系统过渡时间就越短。

二阶系统的动态响应

用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义；二阶系统的传递函数：

特征方程
系统框图
二阶系统的特征根：
暂态性能指标
暂态响应：一个稳定系统，在一定输入信号作用下从初始状态到稳态的过渡过程。

1. 数值性能指标
2. 超调量MP：y(t)的最大值与稳态值之差与稳态值之比：

典型二阶系统的暂态性能分析
控制系统设计以欠阻尼为主，以下分析针对欠阻尼

1. 上升时间tr

2. 峰值时间tp
3. 超调量Mp
   Mp的大小完全决定于ξ，ξ越小，Mp越大。
4. 调整时间ts
   当△y=0.05(或0.02)时，对应的调整时间为ts
   闭环主导极点
   如果一稳定系统有一对左半平面的共轭复极点，其到虚轴的距离是其它极点到虚轴距离的以下，而在它们附近又没有零点，则这一对共轭复极点称之为闭环主导极点，这个系统就可以近似化为一个二阶系统，其动态特性是由这一对主导极点决定。
   闭环主首极点
   当系统闭环主导极点数大于2时，其中最靠近虚轴的极点对系统响应起着首要作用，即在整体上决定响应类型及走向称之为闭环主首极点主首极点为共轭极点图1.14

比例控制

特点：减小系统稳态误差，降低系统相对稳定性。
积分控制前向通道增加积分环节，提高系统类型，改善系统稳态性能，降低系统相对稳定性。
PI控制
PID控制

现代控制理论与经典控制理论

两种理论的宏观比较

现代控制理论的应用

比起经典控制理论, 现代控制理论考虑问题更全面、更复杂,主要表现在考虑系统内部之间的耦合,系统外部的干扰,并符合从简单到复杂的规律。现代控制理论已经应用在工业、农业、交通运输及国防建设的各个领域。