素数与合数：定义、性质与应用
素数与合数：定义、性质与应用
素数和合数是数学中两个非常重要的概念。素数只能被1和它本身整除，而合数还能被其他数整除。本文将从定义出发，介绍素数和合数的相关定理、寻找素数的方法，并探讨费马数和梅森数的特性。
1.6 素数与合数
在数学的世界中，素数和合数是两个非常重要的概念。素数指的是只能被1和它本身整除的自然数，而合数则是除了1和它本身外，还能被其他数整除的数。
定理 1.6.1 合数的最小因数
如果一个大于1的整数是合数，那么它的最小正因数必为素数，并且该因数不大于该数的平方根。
证明：
假设 $a$ 是一个合数，则 $a$ 可以表示为两个因数的乘积，即 $a = b \cdot c$，其中 $1 < b \leq c < a$。我们知道，$b$ 或 $c$ 必为素数。根据平方根的性质，$b \leq \sqrt{a}$。如果 $b$ 不是素数，那么 $b$ 还可以进一步分解成更小的因数，这与 $b$ 是最小正因数的假设矛盾。因此，$b$ 必为素数。
推论 1.6.1
若一个大于1的整数 $a$ 不能被任何不超过 $\sqrt{a}$ 的素数整除，则 $a$ 必为素数。
这种寻找素数的方法被称为埃拉托色尼筛选法（Eratosthenes sieve）。在实际应用中，人们制作了不超过某个整数 $n$ 的所有素数表，以供查用。
定理 1.6.2 素数有无穷多个
假设素数只有有限多个，设它们是 $p_1, p_2, \ldots, p_k$。现考虑整数 $a = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$。显然 $a > 1$，并且 $a$ 必有素因数。但是，由于 $p_1, p_2, \ldots, p_k$ 包含了所有的素数，因此 $a$ 的素因数必须是 $p_1, p_2, \ldots, p_k$ 之一。然而，这导致 $a$ 与1的乘积不等于 $a$ 自身，这与素数的定义矛盾。因此，素数有无穷多个。
定理 1.6.3
设 $p$ 为素数，$a$ 为任意整数，则 $p$ 整除 $a$，或 $p$ 与 $a$ 互素（即 $p$ 不整除 $a$）。
推论 1.6.2
例题分析
例1：
例2：
例3：
求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数。三个最小的合数是4, 6, 8，它们的和是18。因此，17是不能用三个不同合数的和表示的奇数。任何大于等于19的奇数都可以用三个不同合数的和来表示。
例4：
费马数和梅森数
费马数
梅森数
总结
素数在数论中占有重要地位，它们不仅具有独特的性质，还在数学研究和实际应用中起着关键作用。随着计算技术的发展，人们对素数的研究将不断深入，为数学和科学的发展提供新的动力。
梅森小传
马林·梅森（Marin Mersenne，1580-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界的重要人物。他不仅在宗教界作出了贡献，还对科学研究起到了积极的推动作用。梅森与笛卡尔、费马等科学家保持密切联系，被誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。他最著名的学术成就是对素数特别是梅森素数的研究作出了重要贡献。