什么是标准差和方差？一文详解统计学中的重要概念

什么是标准差和方差？一文详解统计学中的重要概念

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_40763897/article/details/139889473

方差和标准差是统计学中常用的衡量数据离散程度的指标。本文将详细介绍方差和标准差的概念、计算方法及其应用场景，帮助读者更好地理解这些统计学基础知识。

什么是方差

方差是衡量数据分布情况的重要指标，它反映了数据点与平均值之间的差异程度。方差的计算过程如下：

1. 计算平均值（mean），用μ（读作mu）表示。
2. 用每一个数减去平均值，再平方（对差进行平方）。
3. 将第二步得到的平方值都加起来，再除以数据的个数，就能得到方差。

方差的求值公式为：
σ² = 1/N ∑_i=1ⁿ (x_i - μ)²

其中，μ表示平均值。

标准差

标准差是方差的平方根，通常用σ表示。标准差的计算公式为：
σ = √(σ²)

在实际应用中，我们通常直接计算标准差，因为标准差的单位与原始数据相同，更易于理解和解释。标准差的计算公式为：
σ = √(1/N ∑_i=1ⁿ (x_i - μ)²)

有了标准差后，我们可以用它来识别哪些数据是正常的，哪些数据是过大或过小的。这是因为标准差描述了平均下来，每个数据点到平均值点的距离，以此来说明数据的分布情况。

实例分析

假设10个同学的身高（cm）分别为：150, 130, 160, 185, 135, 168, 170, 155, 120, 169

1. 计算平均值：
   平均值 = (150 + 130 + 160 + 185 + 135 + 168 + 170 + 155 + 120 + 169) / 10 = 154.2

2. 计算方差：
   方差 = [(150-154.2)² + (130-154.2)² + (160-154.2)² + (185-154.2)² + (135-154.2)² + (168-154.2)² + (170-154.2)² + (155-154.2)² + (120-154.2)² + (169-154.2)²] / 10 = 378.36

3. 计算标准差：
   标准差 = √378.36 = 19.45

根据这个标准差，我们可以判断哪些同学的身高是正常范围内的，哪些是偏高或偏低的。例如，如果认为在一个标准差内的身高属于正常范围，那么120和133都显得太矮小了，185就太高了。

样本标准差

当数据是样本（从更大的总体中选择）时，计算标准差的方法会有所不同。样本标准差的计算公式为：
s = √(1/(N-1) ∑_i=1ⁿ (x_i - x̄)²)

其中，s代表样本标准差。

实例分析

使用前面的例子，计算样本标准差：

1. 方差 = [(150-154.2)² + (130-154.2)² + (160-154.2)² + (185-154.2)² + (135-154.2)² + (168-154.2)² + (170-154.2)² + (155-154.2)² + (120-154.2)² + (169-154.2)²] / (10-1) = 420.4

2. 标准差 = √420.4 = 20.5

样本标准差的计算结果更接近实际值，这是因为除以N-1而不是N可以减少偏差，使估计更准确。

为什么使用平方而不是绝对值

在计算方差和标准差时，为什么要对每个差值进行平方，而不是直接取绝对值呢？

1. 避免正负抵消：直接相加可能会出现正负抵消的情况，无法准确反映数据点之间的距离。
2. 与欧几里得距离类似：平方差的计算方式类似于欧几里得空间中两点之间的距离计算，能够更好地反映数据的分布特点。
3. 数学处理方便：平方和平方根的计算在代数上更容易处理，虽然数值的准确性不是绝对必要，但能准确反映问题的本质更为重要。

通过以上分析，我们可以看到方差和标准差在统计学中的重要性和应用场景。掌握这些基础知识对于进行数据分析和统计推断具有重要意义。