静定结构的位移计算-图乘法（建筑力学）

静定结构的位移计算-图乘法（建筑力学）

静定结构的位移计算是建筑力学中的一个重要内容，其中图乘法是一种简化计算的有效方法。本文将详细介绍图乘法的原理、应用条件及注意事项，并通过具体例题进行说明。

图乘法公式推导

利用式（11-3）计算梁和刚架的位移时，需要逐杆建立ＭＦ、方程，再分别积分。当结构的杆件较多且荷载较为复杂时，计算非常烦冗。但如果结构中各杆件同时满足下列三个条件：

1. 杆轴为直线
2. EI为常数（包括截面分段变化的杆件）
3. M图和MF图中至少有一个是直线图形

则可利用图乘法来代替积分运算。

设等截面直杆AB段的M图和MF图如图11-4所示。假设M图为直线图形，ＭＦ图为任意图形，图直线的倾角为α：

因为：
$$
M = x \tan \alpha
$$
$$
\tan \alpha = \text{常数}
$$
又因为：
$$
ds = dx
$$
$$
EI = \text{常数}
$$

所以：
$$
d\omega_F = M_F dx
$$
表示MF图中dx微段的微面积；$x d\omega_F$表示微面积$d\omega_F$对y轴的静矩；$\int x d\omega_F$表示整个MF图的面积对y轴的静矩。

若以$\omega_F$表示ＭＦ图的面积，以$x_C$表示面积$\omega_F$的形心C到y轴的距离，则由合力矩定理得：
$$
\int x d\omega_F = x_C \omega_F
$$

所以，有：
$$
\delta = \frac{1}{EI} \int M M_F dx = \frac{1}{EI} \int x d\omega_F = \frac{1}{EI} x_C \omega_F
$$

上式中的$y_C$表示MF图形心C处对应于M图的纵坐标。在满足图乘法的三个条件的前提下，可用$x_C \omega_F$代替$\int M M_F dx$的积分运算，这种方法称为图乘法。

图乘法注意事项

应用图乘法时需注意以下几点：

1. 必须符合图乘法应用条件
2. $y_C$必须取自直线图形。若M图和MF图均为直线图形，也可用M图的面积乘以其形心所对应的MF图的纵坐标来计算
3. 当面积$\omega_F$与$y_C$在杆件同一侧时，图乘结果为正号；反之为负号

注意：图11-5给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置，以便图乘时查用。图11-5中顶点是指该点的切线平行于底边的点（M图中的极值点、剪力为零的点），图中的抛物线是标准抛物线，它的顶点在图形的中点或端点，顶点的切线与基线平行，即在顶点处剪力Q＝0。

在实际计算中，会遇到比图11-5更为复杂的图形，这时，可将复杂的图形分解成几个简单的图形，然后分别将简单的图形图乘后再叠加。应当指出，图乘法同样适用于剪力和轴力两项积分，即：

例题解析

【例11-2】试求如图11-6所示外伸梁C点的竖向位移$\Delta_{Cy}$。已知EI为常数。

解：在结点C加单位竖向力，分别作出ＭＦ图和ＭＫ图，如图11-6（ｂ)、（ｃ）所示。由图乘法，得：

$$
\Delta_{Cy} = \sum \frac{\omega_F y_C}{EI} = \frac{1}{EI} (\omega_1 y_1 + \omega_2 y_2 + \omega_3 y_3)
$$

$$
= \frac{1}{EI} \left[ \left( \frac{1}{3} \times \frac{ql^2}{8} \times \frac{l}{2} \right) \times 3l + \left( \frac{1}{2} \times \frac{ql^2}{8} \times \frac{l}{2} \right) \times \frac{l}{2} + \left( \frac{1}{3} \times \frac{ql^2}{8} \times \frac{l}{2} \right) \times \frac{l}{2} \right]
$$

通过这个例题，我们可以看到图乘法在实际计算中的具体应用，大大简化了位移计算的复杂度。