完全平方数的定义、性质及应用

完全平方数的定义、性质及应用

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/f8imp5DNvR.html

完全平方数是数学中一个重要的概念，它不仅在基础数学中有广泛应用，也是数论研究中的一个重要课题。本文将详细介绍完全平方数的定义、性质，并通过一个具体的例题来展示其应用。

完全平方数的定义

完全平方数是指一个整数乘以自己得到的结果。例如，$1\times1$，$2\times2$，$3\times3$等等。如果一个数能表示成某个数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，且一个完全平方数的项有两个。

完全平方数的性质

1. 个位数字特征：平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。
2. 奇数平方特征：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
3. 十位数字与个位数字的关系：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
4. 特殊数字特征：

• 凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；
• 末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；
• 个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

5. 偶数与奇数平方特征：

• 偶数的平方是4的倍数；
• 奇数的平方是4的倍数加1。

6. 模8特征：

• 奇数的平方是8$n$+1型；
• 偶数的平方为8$n$或8$n$+4型。

7. 模3特征：平方数的形式必为下列两种之一：3$n$，3$n$+1。
8. 模5特征：

• 不能被5整除的数的平方为5$n$±1型；
• 能被5整除的数的平方为5$n$型。

9. 模16特征：平方数的形式具有下列形式之一：16$n$，16$n$+1，16$n$+4，16$n$+9。
10. 乘积特征：$a^2b$为完全平方数的充要条件是$b$为完全平方数。
11. 质数整除特征：如果质数$p$能整除$a$，但$p^2$不能整除$a$，则$a$不是完全平方数。
12. 相邻整数平方特征：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
13. 因子个数特征：一个正整数$n$是完全平方数的充分必要条件是$n$有奇数个因子（包括1和$n$本身）。

完全平方数的应用例题

题目：使得$3^n+81$是完全平方数的正整数$n$有___个。

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

解析：

当$n\leqslant4$时，易知$3^n+81$不是完全平方数，故设$n=k+4$$(k\in\mathbb{N}^*)$。则$3^n+81=81(3^k+1)$。因为$3^n+81$是完全平方数，而81是平方数，所以，一定存在正整数$x$，使得$3^k+1=x^2$，即$3^k=x^2-1=(x+1)(x-1)$。故$x+1$、$x-1$都是3的方幂。又两个数$x+1$、$x-1$相差2，则只可能是3和1。从而，$x=2$，$k=1$。因此，存在唯一的正整数$n=k+4=5$，使得$3^n+81$为完全平方数。故答案为B。

本文原文来自新浪爱问教育频道