从零开始认识AI：梯度下降法详解与实践

从零开始认识AI：梯度下降法详解与实践

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/u014147522/article/details/139933573

梯度下降法是机器学习和深度学习中最重要的优化算法之一。它通过迭代更新模型参数，使得损失函数最小化。本文将从原理到实践，带你全面理解梯度下降法的核心思想，并通过一个具体的代码示例，展示如何使用梯度下降法求解函数的最小值。

原理介绍

梯度下降法（Gradient Descent）是一种用于优化函数的迭代算法，广泛应用于机器学习和深度学习中，用来最小化一个目标函数。该目标函数通常代表模型误差或损失。

基本思想是从一个初始点出发，通过不断沿着目标函数的负梯度方向更新参数，逐步逼近函数的局部最小值（或者全局最小值）。梯度是目标函数相对于参数的导数，因此，负梯度方向是函数值下降最快的方向。

具体步骤如下：

1. 初始化参数：随机选择模型初始参数 ( \theta_0 )。
2. 计算梯度：计算目标函数关于当前参数的梯度 ( \nabla J(\theta) )，这里 ( J(\theta) ) 是目标函数。
3. 更新参数：根据梯度和学习率 ( \alpha ) 更新参数：
   [
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   ]
   其中，学习率 ( \alpha ) 是一个预先设置的超参数，决定了每一步更新的大小。
4. 重复：重复步骤 2 和 3 直到收敛，即参数不再发生显著变化或者达到预设的迭代次数。

变种

梯度下降法有几种常见变种：

1. 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）：每一步更新使用整个训练数据集计算梯度。这对于大规模数据集可能会非常耗时。
2. 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）：每一步更新使用单个样本计算梯度，通过不断地用单个样本更新，效率较高但引入了较大的波动。
3. 小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）：每一步更新使用一个小批量的样本来计算梯度，结合了批量梯度下降和随机梯度下降的优点。

优化

为了提高梯度下降的效率和效果，可以结合一些优化方法，如：

• 动量法：在每一步更新中添加动量，帮助跳出局部最小值。
• AdaGrad、RMSprop、Adam：这些算法通过自适应调整学习率，以适应不同参数和不同迭代阶段。

梯度下降法是机器学习和深度学习中的关键技术之一，通过梯度下降可以有效地训练模型并优化目标函数。

代码实现

以下用梯度下降法求解函数的最小值：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return x ** 2 + 5 * np.sin(x)

def df(x):
    return 2 * x + 5 * np.cos(x)

# initialize parameter and learning rate
x = 4
lr = 0.1
epochs = 1000
history = [x]

for _ in range(epochs):
    x = x - lr * df(x)
    history.append(x)
    
xs = np.linspace(-5, 5, 200)
ys = f(xs)
plt.plot(xs, ys, label="f(x)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.scatter(history, f(np.array(history)), c="g", alpha=0.5, label="Gradient Descent Point")
plt.scatter(history[-1], f(history[-1]), c="r", label="Minimal Point")
plt.legend()
plt.show()