多元复合函数的微分法
多元复合函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
复合函数的中间变量均为同一自变量的一元函数的情形
- 设函数z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ（t）]，即构成复合函数z=f[φ（t）,ψ（t）]，其变量相互依赖关系如图8-11所示。
图8-11
如果函数u=φ(t)及v=ψ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点u,v具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]在点t可导,且有
定理1
因为当，又因即当所以令Δt→0,两边取极限,得
从定理1中可看到函数最终只依赖于一个变量t，所以对其导数应用d的符号，并称上述为全导数。
当t取得增量Δt时,u，v及z相应地也取得增量Δu,Δv及Δz。由于z=f(u,v)在点u,v具有连续偏导数，于是函数z=f(u,v)在点u,v可微分，即
其中
因此，有
证明
定理1可以推广到更多中间变量的情况。设z=f(u,v,w)，其中u=φt,v=ψt,w=ωt，即构成复合函数z=fφt,ψt,ωt，其变量相互依赖关系如图8-12所示，有
图8-12
设
，求全导数
解
【例1】
设有一圆柱体，它的底半径以0.1cm/s的速率增大，而高度以0.2cm/s的速率在减少，试求当底半径为100cm，高为120cm时．求圆柱体体积的变化率。
解设圆柱体的底半径为R,高为h，则体积为V=πR2h，其体积变化率为将【例2】代入上式，得
二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
- 定理1还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。设函数z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，即构成复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］,其变量相互依赖关系如图8-13所示。
图8-13
如果函数u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］在点(x,y)的两个偏导数存在,且有
本定理的证明方法与定理1类似，如对x求偏导时，只要注意变量y是固定的，实质上就是定理1的情形，只是相应地把导数符号换成偏导数符号。
定理2
已知
解
【例3】
类似地，设u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)及w=ω(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)］（变量相互依赖关系见图8-14）在点(x,y)的两个偏导数都存在，且
图8-14
三、复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形
- 如果函数u=φ(x,y)在点x,y具有对x及对y的偏导数,函数v=ψ(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点u,v具有连续偏导数,则复合函数z=fφx,y,ψy（变量相互依赖关系见图8-15）在点x,y的两个偏导数存在,且有
实际上该情形是第2种情形的特例。
定理3
图8-15
设z=uarctan(uv)，u=xey，v=y2，求z关于x，y的偏导数。
解
【例4】
设u=φ(x,y)在点x,y具有偏导数，z=f(u,x)在相应点u,x处有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),x］在点x,y处有偏导数，且
实际上可看作第3种情形中当v=x的特殊情况。
这里
是表示在复合函数z=f［φ(x,y),x］中把y看作常量求得的z对x的偏导数，
是表示在z=f(u,x)中把u看作常量求得的z对x的偏导数。所以
与
的意义不同。
注意
设z=f(u,x)=arcsinx+u，其中u=sin(xy)，求
解
【例5】
四、多元复合函数的高阶偏导数
计算多元复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面的求导法则即可。为表达简便起见，引入记号f′1,f′2,f″12等，这里下标“1”表示对第一个变量u求偏导数，下标“2”表示对第二个变量v求偏导数，即
同理可规定f″11，f″22等。
设
，其中f具有二阶连续偏导数，求
解令u=xy,，则z=f(u,v).根据复合函数的求导法则，有
【例6】
因为f′1及f′2仍是复合函数，故由复合函数求导法则，有
因此
五、多元复合函数全微分
设z=f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分
若z=f(u,v)中的u,v为中间变量，即u=φx,y,v=ψx,y，而且它们也具有连续偏导数，则复合函数z=f［u(x,y),v(x,y)］的全微分为
由定理2可知
其中的偏导数
，于是可化为
由此可见,无论z是自变量u,v的函数还是中间变量