函数的导数计算6道习题过程详解
函数的导数计算6道习题过程详解
本文通过6道典型例题，详细介绍了函数导数的计算方法，包括链式求导、取对数求导、隐函数求导等。这些题目涵盖了复合函数、隐函数等多种类型，每道题目都给出了详细的解题步骤和多种解题方法，适合学习高等数学或微积分的学生参考。
1.y=(2x+cosx²)³的导数计算
本文通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(2x+cosx²)³的导数计算主要步骤。
链式求导法则
y=(2x+cosx²)³,则有：
dy/dx=3(2x+cosx²)²*(2x+cosx²)',即：
dy/dx=3(2x+cosx²)²*(2-sinx²2x).
则：dy/dx=3(2x+cosx²)²*(2-2x*sinx²)。
取对数求导方法：
因为y=(2x+cosx²)³,两边取自然对数有：
lny=3ln(2x+cosx²),再对方程两边同时对x求导，有：
y'/y=3(2x+cosx²)'/(2x+cosx²),
y'/y=3(2-2xsinx²)/(2x+cosx²),
y'=3(2x+cosx²)³(2-2xsinx²)/(2x+cosx²),
所以：y'=3(2x+cosx²)²(2-2x*sinx²)。
本题函数的复合
本题由函数y₁=2x(一次函数，也为正比例函数)，y₂=x²（幂函数）,y₃=cosy₂（三角函数，也为正弦函数）,y₄=y₁+y₃（两个函数的和函数）,y=y₄³（幂函数）复合而成。
知识拓展：
导数,也称之为导函数，是函数的局部性质，其几何意义就是曲线上该点切线的斜率。
函数求导，实质上就是一个求极限的过程，导数的四则法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数，也可以反过来求原来的函数，此时即为求不定积分计算。
2.51y=ln(x²+56y²)导数计算
本文通过隐函数的求导法则及对数函数的求导公式，以及构造函数导数法，介绍计算隐函数51y=ln(x²+56y²)导数的计算主要步骤。
导数公式法：
51y=ln(x²+56y²),两边同时对x求导有：
51dy=(2xdx+112ydy)/(x²+56y²),
51 (x²+56y²)dy=2xdx+112ydy
[51(x²+56y²)-112y]dy=2xdx
dy/dx=2x/[51 (x²+56y²)-112y].
构造函数导数法
设F(x,y)= 51y-ln(x²+56y²),
则F(x,y)对x求导有：
F'x=-2x/(x²+56y²),
进一步F(x,y)对y求导有：
F'y=51-112y/(x²+56y²),
所以有：
dy/dx
=-F'x/F'y
=[2x/(x²+56y²)]/[ 51-112y/(x²+56y²)]
=2x/[51(x²+56y²)- 112y]。
3.函数y=sin³(x²+x+2)的导数计算
主要内容：
本文主要用复合函数求导法则、链式求导法则以及取对数求导等方法，介绍计算函数y= sin³(x²+x+2)一阶和二阶导数的步骤。
复合函数链式求导计算一阶导数
由复合函数求导法则，对x求导有：
dy/dx=3sin²(x²+x+2)cos(x²+x+2)(x²+x+2)’
=3sin²(x²+x+2)cos(x²+x+2)(2x+1),
=3(2x+1)*sin²(x²+x+2) *cos(x²+x+2).
取对数求导计算一阶导数
首先对方程两边取对数，有：
lny=lnsin³(x²+x+2),
lny=3lnsin(x²+x+2),
方程两边同时对x求导，有：
y’/y=3 [sin(x²+x+2)]’/sin(x²+x+2),
y’/y=3 cos(x²+x+2)/sin(x²+x+2),
y’=sin³(x²+x+2)*3cos(x²+x+2)/sin(x²+x+2),
y’=sin²(x²+x+2)*3cos(x²+x+2),
=3 (2x+1)sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2).
二阶导数计算
本处根据函数特征，采取取对数计算导数，
首先对函数两边同时取对数，有：
lny’=ln3(2x+1)sin²(x²+x+2)*cos(x²+x+2),则：
lny’=ln3+ln(2x+1)+2lnsin(x²+x+2)+lncos(x²+x+2),
对方程两边同时对x再次求导，
y’’/y’=2/(2x+1)+2[sin(x²+x+2)]’/sin(x²+x+2)+
[cos(x²+x+2)]’/cos(x²+x+2),
=2/(2x+1)+2cos(x²+x+2)(2x+1)/sin(x²+x+2)-
sin(x²+x+2)(2x+1)/cos(x²+x+2),
=2/(2x+1)+2(2x+1)ctg(x²+x+2)-(2x+1)tan(x²+x+2),则：
y’’=3(2x+1)sin²(x²+x+2)cos(x²+x+2)[2/(2x+1)+2(2x+1)
ctg(x²+x+2)-(2x+1)tan(x²+x+2)],
=6sin²(x²+x+2)cos(x²+x+2)+6(2x+1)²sin(x²+x+2)
cos²(x²+x+2)-3(2x+1)²sin³(x²+x+2),
=3sin(x²+x+2)sin(2x²+2x+4)+6(2x+1)²sin(x²+x+2)
cos²(x²+x+2)-3(2x+1)²sin³(x²+x+2)。
4.7y=ln(x²-y²)导数计算
主要内容：
本文通过隐函数的求导法则及对数函数的求导公式，以及构造函数导数法，介绍计算隐函数7y=ln(x²-y²)导数的计算主要步骤。
导数公式法：
7y=ln(x²-y²),两边同时对x求导有：
7dy=(2xdx-2ydy)/(x²-y²),
7(x²-y²)dy=2xdx-2ydy
[7(x²-y²)+2y]dy=2xdx
dy/dx=2x/[7(x²+y²)+2y].
构造函数导数法
设F(x,y)=7y-ln(x²-y²),
则F(x,y)对x求导有：
F'x=-2x/(x²-y²),
进一步F(x,y)对y求导有：
F'y=7+2y/(x²-y²),
所以有：
dy/dx
=-F'x/F'y
=[2x/(x²-y²)]/[7+2y/(x²-y²)]
=2x/[7(x²+y²)+2y]。
5.x³+y³=2x的导数计算
主要内容：
本文主要通过隐函数以及函数商的求导法则，介绍计算x³+y³=2x的一阶导数和二阶导数的主要过程步骤。
一阶导数计算
对曲线方程两边同时求导，有：
3x²+3y²*y'=2，
即：y'=dy/dx=(2-3x²)/3y²。
二阶导数计算
对y'按函数商求导法则有：
d²y/dx²=(1/3)[(-6x)y²-2(2-3x²)yy']/y⁴
=(2/3)[(3x)y²+(2-3x²)yy']/y⁴ ,将上述所求的y'代入。
=-(2/3)[3xy²+(2-3x²)y(2-3x²)/3y²]/y⁴ ,
=-(2/3)[(3x)y²+(2-3x²)²/y]/y⁴ ,
=-(2/3)[3xy³+(2-3x²)²]/y⁵ 。
6.y=(45x-cosx³)²的导数计算
主要内容：
本文通过函数的链式求导和取对数求导方法，介绍多种函数构成复合函数y=(45x-cosx³)²的导数计算主要步骤。
链式求导法则
y=(45x-cosx³)²,则有：
dy/dx=2(45x-cosx³)(45x-cosx³)',即：
dy/dx=2(45x-cosx³)(45+sinx³3x²).
则：dy/dx=2(45x-cosx³)(45+3x²sinx³)。
取对数求导方法：
因为y=(45x-cosx³)²,两边取自然对数有：
lny=2ln(45x-cosx³),再对方程两边同时对x求导，有：
y'/y=2(45x-cosx³)'/(45x-cosx³),
y'/y=2(45+3x²sinx³)/(45x-cosx³),
y'=2(45x-cosx³)²(45+3x²sinx³)/(45x-cosx³),
所以：y'=2(45x-cosx³)(45+3x²*sinx³)。
本题函数的复合
本题由函数y1=45x(一次函数，也为正比例函数)，y2=x³（幂函数）,y3=cosy2（三角函数，也为正弦函数）,y4=y1-y3（两个函数的和函数）,y=y4²（幂函数）复合而成。
知识拓展：
导数,也称之为导函数，是函数的局部性质，其几何意义就是曲线上该点切线的斜率。
函数求导，实质上就是一个求极限的过程，导数的四则法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数，也可以反过来求原来的函数，此时即为求不定积分计算。