高中数学：求函数值域的8种方法总结
高中数学：求函数值域的8种方法总结
函数值域是高中数学中的一个重要概念，它不仅在选择题和填空题中经常出现，还是解答题中常见的考点。掌握求函数值域的方法，对于提高数学成绩具有重要意义。本文总结了8种常用的求函数值域方法，帮助读者系统地掌握这一知识点。
01 分离常数法
这是最简单的一种方法，适用于自变量是一次的分式函数。我们看到这样的分式函数，就通过配方，把它变成一个常数+一个分式的样子。它的值域就显而易见了，不等于常数。
02 配方法
如果你遇到的是一个二次函数，可以用配方法。这个方法在初中就已经非常常见了。把未知数配成完全平方的形式。完全平方≥0，那么值域就显而易见了。配完全平方要注意：常数项是一次项系数的½。前面加上了一个常数，后面就要减去。
03 换元法
换元法又分代数换元和三角换元。它们的使用场景都是含有根式的函数。代数换元是普通根式函数；三角换元是比较“巧”的根式函数。
代数换元的例子：代数换元是把根式里的“一堆”设为t，然后两边平方，转换成二次函数，再配方求值域。
三角换元法例子：三角换元法适合根式下是【平方差】的函数。根式下是平方差，我们就可以利用正弦余弦平方相加为0。然后令自变量＝三角函数，来进行变换。最后利用三角函数值来确定函数值域。
04 判别式法
这个方法也很巧妙。适合分式函数，且分母次数为2次的分式函数。遇到这种情况，我们可以把分式转化为一个二次方程。在这个方程里，用y做系数，x依旧是自变量。那么，方程要有根，判别式必须≥0。这样y的值，也就是值域也就计算出来了。注意，要讨论二次项系数，系数≠0。
其实这也叫反函数法——用y表示x嘛。假如再遇到分式函数，不想配方也行。我们可以用y表示x。然后再判断值域。
05 基本不等式法
基本不等式你还记得吗？a+b≥2√ab。如果一个函数是y＝x+1/x-4，那么对于前半部分你就可以用基本不等式。x+1/x≥2，当x=1/x，也就是x＝±1时，成立。函数的值域也可以求了。如果一个函数不是x+1/x的形式，你就给它化简成这样的形式。比如下图中的这些。
06 导数法
求函数的导数，让导数等于0。此时的自变量取值，对应的就是函数的极值。这个方法我以前讲过。拓展阅读链接在下方。
07 比例法
适合结合一次函数的复合函数。先把x和y写在等号两边。然后让等号两边等比例，设为k。用k表示x、y，代入复合函数来判定值域。
08 利用函数基本性质
函数有单调性、奇偶性、有界性等性质。只要你熟知各个函数的特征，有时候单是观察复合函数，就能知道值域。很多人管这个方法叫观察法，根本上还是根据函数的特点。还有图形结合，也是根据函数本身。只要把函数图像画出来，那么函数的值域也就一目了然了。我们还可以利用函数的有界性。比如，三角函数，二次函数，指数函数等。它们的值域都在一定范围内。一个复合函数包含这些初等函数，利用有界性判断一下就行了。比如下面这些：
利用函数的单调性，也是一个非常好的方法。调函数的图像是一直上升或下降的。单调函数在端点处有意义，则该函数在单点处取最值。比如：一个函数在[2,8]上单调递增，则在2上取最小值，在8上取最大值。一个函数在[2,8]上单调递减，则在2上取最大值，在8上取最小值。
好了，基本上都总结完了。具体的你再到题目中去试试。不练肯定不行。