函数的可导性与连续性之间的关系
函数的可导性与连续性之间的关系
函数的可导性和连续性是微积分中的两个基本概念，它们之间存在着密切的联系。本文将从包含绝对值的函数的极限、导数不存在的情况以及可导性和连续性的关系三个方面，深入探讨这两个概念之间的关系。
1. 包含绝对值的函数的极限
有时需要处理包含绝对值的函数的极限问题。考虑以下极限：
设 (f(x) = \frac{|x|}{x})，首先注意到0不可能在函数f的定义域中，因为如果0在其定义域中，则分母将会是0。如果x是任意的正数，那么f(x) = 1。如果x为负，那么|x| = -x，f(x) = -x/x = -1。对于f(x) = |x|/x，如果x > 0，f(x) = 1；如果x < 0，f(x) = -1。
因此，对于左极限，需要从左侧接近x = 0：
对于右极限，需要从右侧接近x = 0：
由于左极限和右极限不相等，双侧极限不存在：
当x > -2时，|x + 2|/(x + 2) = 1；当x < -2时，|x + 2|/(x + 2) = -1。y = |x + 2|/(x + 2)的图像是y = |x|/x的图像向左平移两个单位得到的。
这意味着我们所寻找的左极限等于-1（右极限是1，因此双侧极限不存在）。
2. 导数不存在的情况
函数f(x) = |x|的图像在原点处有一个尖点，在x = 0处导数不存在。
在以上等式链中用0替换x。f'(0)的值无定义，即0没有在f'的定义域中。如果将它由一个双侧极限改为单侧极限，那么以上极限存在。特别是，右极限是1，左极限是-1。
这说明了右导数和左导数的概念，它们分别由以下公式定义：
跟在极限的情况一样，如果左导数和右导数存在且相等，那么实际的导数存在且有相同的值。如果导数存在，那么左右导数都存在且都等于导数值。
如果f(x) = |x|，那么在x = 0处其右导数为1，左导数为-1。
当从原点出发沿着该曲线向右移动时，它的斜率是1（斜率始终为1，即如果x > 0，f'(x) = 1）。当从原点出发沿着该曲线向左移动时，它的斜率是-1（如果x < 0，f'(x) = -1）。由于左侧斜率不等于右侧斜率，所以在x = 0处导数不存在。
所以，我们得到了一个在其定义域内不是处处可导的连续函数，除了一个小点外，它仍然是可导的。
存在不可导的连续函数。
3. 可导性和连续性
每一个可导函数也是连续的。
如果函数y = f(x)在x可导，则函数在x必连续。如果函数y = f(x)在x连续，但函数在x不一定可导。连续是可导的必要条件，但不是充分条件。
如果一个函数f在x可导，那么它在x连续。
sin(x)作为x的函数是可导的，这将自动暗示它在x处也是连续的。
要证明f在x上连续，需要证明：
这个方程只有当等号两边同时存在时才成立。
在这种情况下，u = x + h，且当u → x时，h → 0。
所以上述方程可以替换为：
我们需要证明等号两边都存在且相等。
我们知道f在x可导；这意味着f'(x)存在，所以根据f'的定义，极限：
存在。
首先注意到f(x)涉及在这个公式中，所以它必须存在，否则公式就无从谈起。
关键是开始另一个极限：
我们可以精确地计算这个极限，通过将其分解为两个因子：
这完全可行，因为所有涉及的极限都存在。这就是你需要f'(x)存在的地方——否则它就不会起作用。
f(x)的值根本不依赖于极限，所以可以将其提出来：
现在只需要将f(x)加到等号两边：
等号左边的极限存在并且等式成立。可导函数必连续，连续函数并不总是可导的。
参考文献
[1] Yongqiang Cheng,https://yongqiang.blog.csdn.net/
[2] 普林斯顿微积分读本 (修订版),https://m.ituring.com.cn/book/1623