三维空间中的球坐标系

三维空间中的球坐标系

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/leviopku/article/details/138999406

球坐标系是极坐标系在三维空间中的自然推广，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。本文将从极坐标系出发，逐步介绍球坐标系的基本概念、表示方法及其在三维场景中的应用。

初中数学接触过极坐标，用半径r和与x轴夹角θ来表示二维平面上一个点的位置。球坐标系就是极坐标系在三维上的推广。球坐标系在三维场景中非常常见，在三维交互性的设计中也免不了球坐标系的应用，如AR/VR头显中的陀螺仪传感器等。

相比于极坐标( r , θ )，球坐标额外增加了一个角度( r , θ , ϕ )，用一张图可以轻易地看出来：

• 与z轴正向的夹角，我们成为极角（polar angle），记作θ。
• 与x轴正向的夹角，我们成为方位角（azimuth angle），记作ϕ。

需要注意的是，在物理学中极角的符号是θ，而方位角的符号是ϕ，在数学中刚好反过来。在实际使用过程中，我们需要辨别。

球坐标系与直角坐标系之间的转换关系如下：

• r = √(x² + y² + z²) (1)
• ϕ = arccos(z / r) (2)
• θ = arccos(x / (r * sin(ϕ))) (3)

球坐标系的性质：

球坐标系在三维空间中具有以下重要性质：

1. 完备性：任何三维空间中的点都可以用球坐标(r, θ, ϕ)唯一表示。
2. 旋转不变性：球坐标系在绕原点的旋转下保持不变，这使得它在处理旋转对称问题时非常方便。
3. 物理意义明确：在物理学中，球坐标系常用于描述具有球对称性的物理问题，如静电场、引力场等。
4. 计算简便：在处理球对称性问题时，使用球坐标系可以大大简化计算过程。

球坐标系在多个领域都有广泛应用：

• 物理学：在处理球对称性问题时，如静电场、引力场等，使用球坐标系可以大大简化计算过程。
• 工程学：在天线设计、声学分析等领域，球坐标系用于描述空间中的辐射模式。
• 计算机图形学：在三维建模、渲染和动画中，球坐标系用于描述物体的空间位置和姿态。
• 机器人学：在机器人定位和导航中，球坐标系用于描述机器人的空间位置和方向。

球坐标系是一个基础且重要的数学概念，特别是在计算机图形学、物理学等领域有广泛应用。通过本文的介绍，相信读者对球坐标系有了更深入的理解。