垂径定理在实际生活中的应用

垂径定理在实际生活中的应用

垂径定理在实际生活中的应用

一、垂径定理及其推论

1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

2. 推论：

• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
• 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
• 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

二、垂径定理的应用

垂径定理在实际生活中有着广泛的应用，特别是在测量和设计领域。例如，在测量圆的直径时，可以通过测量垂直于弦的直径来实现。此外，垂径定理还可以用于解决一些复杂的几何问题，如求解圆的面积、周长等。

三、典型例题解析

1. 例题1：如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E。已知AE=8cm，BE=2cm，求CD的长。

解题思路：根据垂径定理，AB垂直平分CD，所以CE=ED。又因为AE+EB=AB，所以AB=10cm。在Rt△AEC中，根据勾股定理，可以求出CE的长，进而求出CD的长。

解题过程：

• AE+EB=AB，所以AB=10cm
• 在Rt△AEC中，根据勾股定理，AC²=AE²+CE²
• 代入已知数据，求得CE=6cm
• 因为CE=ED，所以CD=2CE=12cm

2. 例题2：如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E。已知AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。

解题思路：根据垂径定理，AB垂直平分CD，所以CE=ED。又因为AB是直径，所以AE+EB=AB。在Rt△AEC中，根据勾股定理，可以求出AE的长。

解题过程：

• 因为AB是直径，所以AE+EB=AB
• 又因为AB=10cm，所以AE+EB=10cm
• 在Rt△AEC中，根据勾股定理，AC²=AE²+CE²
• 代入已知数据，求得AE=3cm

四、练习题

1. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E。已知AE=6cm，BE=4cm，求CD的长。

2. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E。已知AB=12cm，CD=10cm，求AE的长。

参考答案

1. CD=10cm
2. AE=3.5cm