漫谈伯特兰悖论和伯特兰盒子悖论
漫谈伯特兰悖论和伯特兰盒子悖论
伯特兰悖论和伯特兰盒子悖论是概率论中的两个经典悖论，它们分别从几何概率和条件概率的角度挑战了人们的直觉。本文将详细介绍这两个悖论的背景、解决方案以及计算机模拟验证结果。
伯特兰悖论
什么是伯特兰悖论
伯特兰悖论是由法国数学家约瑟夫·伯特兰（Joseph Bertrand）在其1889年的著作《概率计算》中首次提出的。这个悖论提出了一个看似简单的几何概率问题，但存在三种看似合理但相互矛盾的解决方案。
问题描述
考虑一个圆及其内接等边三角形（即三角形的每个顶点都在圆周上）。假设在圆上随机画一条弦，如图1(A)中的弦k。伯特兰问：这条弦的长度大于内接等边三角形边长的概率是多少？
图1：伯特兰悖论问题及其解决方案
三种解决方案
解决方案1：随机端点
通过随机选择圆周上的一个点P，并从这一点出发创建弦。如图1(B)所示，可以看出弦的另一个端点决定了弦是否大于内接等边三角形边长。由于三角形的顶点将圆周三等分，因此有1/3的概率远端点位于这个弧上，所以弦的长度大于内接等边三角形边长的概率是1/3。
解决方案2：随机半径
通过在圆上画一个半径R，并想象旋转三角形使一条边垂直于半径R。如图1(C)所示，如果弦在比三角形边更靠近圆心的点穿过半径，那么它的长度大于内接等边三角形边长。根据几何学，三角形的边平分半径，所以弦有1/2的概率更靠近中心，因此弦有1/2的可能性其长度大于内接等边三角形边长。
解决方案3：随机中点
假设弦是由中点的位置定义的。如图1(D)所示，等边三角形内接一个较小的半径是大圆的1/2的圆C。可以看出，如果弦的中点落在圆C内，这个弦的长度大于内接等边三角形边长，如果弦的中点落在圆C外，其弦长小于内接等边三角形边长。因为小圆的半径是大圆的1/2，所以它的面积是大圆的1/4，因此随机中点位于较小圆内的概率为1/4，所以弦的长度大于内接等边三角形边长的概率为1/4。
计算机模拟
利用计算机模拟程序，用上述三种不同解决方案绘制弦，进行了1,000,000次试验。此外，还试验了“随机弦”（在圆周上随机选择两个端点构造弦）的方案。
图2：模拟伯特兰悖论不同的解决方案抽稀显示：A 随机端点；B随机半径；C 随机中点；D随机弦
图3是程序最后打印的模拟结果：“随机端点”、“随机半径”、“随机中点”三种解决方案，其长度大于内接等边三角形边长的几率分别是:0.333...，0.500...和0.250...；而“随机弦（在圆周是随机选择两个端点）”，其长度大于内接等边三角形边长几率是0.3335...。
伯特兰盒子悖论
什么是伯特兰盒子悖论
伯特兰盒子悖论是伯特兰在1899年提出的另一个概率难题。有三个盒子：A盒子装两个金币，B盒子装两个银币，C盒子装一个金币和一个银币。随机选择一个盒子，从该盒子抽取一枚硬币，结果是金子，那么被选中的盒子是A盒子的概率是多少？答案是有三分之二的概率打开的是A盒子。
贝叶斯定理解法
利用贝叶斯定理公式，我们会得到这样的结果:
我们知道，我们从三个盒子中随机选择一个盒子。所以，P(A)= P(B)=P(C)=1/3。
由于A盒子装的两个都是金币，所以，如果我们选择A盒子，就有100%的概率选出一枚金币。所以，P(G|A)= 1。B盒子装的两个都是银币，如果我们选择B盒子，0%的概率选出一枚金币，所以，P(G|B)=0。C盒子装一个金币和一个银币，如果我们选择C盒子，有50%的概率选出一枚金币，所以，P(G|C)=1/2。
现在可以计算分母P(G)，利用全概率公式：
P(G)= P(G|A)P(A)+ P(G|B)P(B)+ P(G|C)P(C)
P(G)= 1×1/3+0×1/3+1/2×1/3
P(G)= 1/2
把P(G)、P(G|A)和P(A)数值代入贝叶斯公式，得到
计算机模拟
图8是利用Python程序模拟伯特兰盒子悖论问题的结果输出。程序模拟随机选择一个盒子，选择一个盒子后随机选择硬币。表示每次试验后更新金币来自盒子A的几率。从图8（上）中可以看出，在经过大约20,000次试验后，几率靠近红色虚线。红色虚线位于2/3处。图8（下）是经过100,000次试验后，打印输出的伯特兰盒子问题金币来自盒子A的几率为0.6671，接近2/3。
结语
伯特兰悖论和伯特兰盒子悖论都是挑战我们逻辑直觉的经典概率难题。伯特兰悖论突显了概率论中关于随机选择和几何测度的复杂性，而伯特兰盒子悖论则展示了条件概率的微妙之处。这两个悖论推动了概率理论的发展，促使人们更加严谨地思考概率问题。
计算机模拟为验证和研究概率悖论提供了强有力的工具。即使对于看似简单的概率问题，人工进行十万次或百万次试验也非易事，而利用计算机模拟，只需几秒钟即可完成。