方差分析【单/双因素方差分析】

方差分析【单/双因素方差分析】

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/qq_49288362/article/details/139887473

方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中用于比较多个样本均值之间是否存在显著差异的一种方法。本文将详细介绍单因素方差分析和双因素方差分析的基本原理、计算方法和应用场景。

一、单因素方差分析（Analysis of Variance）

1.方差分析在做什么？

• 比较不同分组（通常组别大于等于3）之间均值是否存在显著差异，如果组别是两组，直接使用t检验就可以；
• n个分类，它们的某一些特征值的平均值，是否有显著区别；
• 分类：因素（factor or independent variable）。是分类型变量，且类别大于3；
• n个分类，它们的某一特征值的平均值，是否有显著区别；
• 特征值（dependent variable）：连续型变量；

2.方差分析的思路：

• 数据整体波动（sum of squares total）:组内波动与组间波动
• 组内波动：
• 某一分组内，个体特征值的离散程度
• Sum of Squares Within,SSW
• 例子：协和医学院学生考试成绩的离散程度
• 组间波动：
• 不同分组之间，分组特征值的平均值的离散程度
• Sum of Squares Between,SSB
• 例子：协和医学院、北大医学院、哈弗医学院，学生考试成绩均值的离散程度v

结论：
组间波动占整体越大，组内波动占整体越小，各组均值相等的可能性越小
组内波动占整体越大，组间波动占整体越小，各组均值相等的可能性越大

3.方差分析中的计算：

• SST：
  
• SSW：
• SSB
  
• 整体波动 = 组内波动 + 组间波动

4.构造F统计量：

• 自由度
  如果F统计量很大（例如：F统计量对应的P值小于0.05），意味着SSB显著的大于SSW，有理由认为各分组之间的平均值存在显著差异，拒绝原假设；
  如果F统计量很小（例如：F统计量对应的P值大于0.05），意味着SSB不显著的大于SSW，有理由认为各分组之间的平均值不存在显著差别，接受原假设；

二、双因素方差分析(Two-way ANOVA)

1.双因素方差分析在做什么？

根据两个因素进行分组时，不同分组之间特征值的平均值是否相等。

• 特征值：连续变量（例如：播放量、成绩）
• 因素：分类型变量（例如：视频分区、学历、院校、性别）
• 分类组别不一定大于3

2.双因素方差探讨三个问题：

• 问题一：根据第一个因素进行分组时，不同分组之间的特征均值是否相等
• 原假设：第一个因素对特征值没有显著影响
• 备择假设：第一个因素对特征值均值存在显著影响
• 问题二：根据第二个因素进行分组时，不同分组之间的特征均值是否相等
• 原假设：第一个因素对特征值没有显著影响
• 备择假设：第一个因素对特征值均值存在显著影响
• 问题三：第一个因素和第二个因素的交互效应，是否对不同分组之间的特征值均值产生影响
• 原假设：交换效应对特征值均值没有显著影响
• 备择假设：交互效应对特征值均值存在显著影响

3.双因素方差分析的检验思路

-

第一步：计算出因素一波动、因素波动、交互项波动、误差波动

第二步：分别将因素一波动、因素二波动、交互项波动、与误差项波动进行比较

• 因素一波动 v.s. 误差项波动进行比较
• 因素二波动 v.s. 误差项波动进行比较
• 交互项波动 v.s. 误差项波动进行比较
  计算五个波动
• 数据整体波动（sum of squares total）
• 第一个因素所带来的波动（sum of squares first factor）
• 第二个因素所带来的波动（sum of squares secon factor）
• 两个因素交互项所带来的波动（sum of squares interaction）
• 误差项所带来的波动（sum of squares error）

• 例子：

4.双因素方差分析中的计算方法

-
数据整体波动：
每个个体的数值减去总体的平均值的平方和

第一个因素所带来的波动
认为的构造一组数据，使得它只有由性别引起的波动，而没有由其他因素引起的波动。

第二个因素所带来的波动
人为的构造一组数据，使得它只有由医学院引起的波动而没有由其他因素引起的波动；

交互项所带来的波动
交互项所带来的波动 = 模型波动 - 因素一波动 - 因素二波动

• 模型波动
• 误差项所带来的波动
• 模型所不能解释的波动，个体取值减去模型所能解释的取值
• 模型所能解释的取值：如果某个个体，只受性别和学校影响，不受其他因素的影响，个体取值应该为所在性别和学校的平均值

5.构造F统计量

根据F统计量，查找对应的p值，如果小于0.05，则表明因素显著的影响特征值，如果大于0.05或者大于提前设置的临界值，则表明因素对特征值取值没有显著的影响。