考前技巧速览：圆锥曲线10组公式详解

考前技巧速览：圆锥曲线10组公式详解

一、硬解定理背景

圆锥曲线硬解定理，又称CGY定理（The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem）或JZQ定理（The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem），其是一套求解椭圆、双曲线与直线相交时的简便算法，常应用于解析几何。

在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性，且一直无法用一个简洁的形式表示。由CGY-EH定理，以直线与椭圆为例推导，重新排列分组形式，并引入新的变量，从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY-EH定理的成功引入弦长计算公式，并将适用范围扩大到对特定值的求解及对其他参数的求解，从而奠定了定理强大的通用性与普适性。

CGY-EH 定理：若曲线与直线相交于两点，则：

其中，

可以看出原定理内容并不适合高考中常见的模型，因此在这一期另外给出一套计算公式，并拓展了硬解定理，给出了，，，等公式，这些公式形式都比较简洁，利于记忆。在解题过程中我们可以借用一些口诀，快速写出答案，当然一些应该有的过程还是要写出来。

二、详细归纳硬解定理10组公式

以下均设圆锥曲线与直线交于、两点，

1、椭圆与直线

如图1，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

2、椭圆与直线

如图2，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

3、双曲线与直线

如图3，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

4、双曲线与直线

如图4，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

5、双曲线与直线

如图5，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

6、双曲线与直线

如图6，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

7、抛物线与直线

如图7，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

8、抛物线与直线

如图8，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

9、抛物线与直线

如图9，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）

10、抛物线与直线

如图10，设、
联立得

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）