量子计算中的量子比特

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量子计算中的量子比特

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来源

https://learn.microsoft.com/zh-cn/azure/quantum/concepts-the-qubit

量子比特（qubit）是量子计算中信息的基本单位，与经典计算中的比特（bit）相对应。量子比特的独特之处在于它可以同时表示0和1的叠加态，这使得量子计算机在处理某些问题时比传统计算机更强大。本文将详细介绍量子比特的表示方法、测量、可视化以及单量子比特运算等核心概念。

表示一个量子比特

在经典计算中，比特的值可以是0或1。而在量子计算中，量子比特的值可以是0、1或0和1的量子叠加态。单个量子比特的状态可以用一个二维列向量来描述，这个向量被称为"量子态向量"，其元素的平方和必须为1（即单位范数）。任何满足这个条件的实数或复数二维列向量都可以表示一个量子比特的状态。

例如，向量
$$
\begin{bmatrix}
\alpha \
\beta
\end{bmatrix}
$$
表示一个量子比特状态，其中$\alpha$和$\beta$是复数，满足$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$。

两个特殊的量子比特状态是
$$
|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} \quad \text{和} \quad |1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}
$$
它们构成了量子比特状态的计算基。任何量子态向量都可以表示为这两个基向量的线性组合。

测量量子比特

测量量子比特会使其状态坍缩到两个经典状态之一：$|0\rangle$或$|1\rangle$。如果一个量子比特的状态是
$$
\begin{bmatrix}
\alpha \
\beta
\end{bmatrix}
$$
那么测量得到0的概率是$|\alpha|^2$，得到1的概率是$|\beta|^2$。测量后，量子比特的新状态将是$|0\rangle$或$|1\rangle$。

值得注意的是，量子态向量的整体相位是不相关的。例如，向量
$$
\begin{bmatrix}
-\alpha \
-\beta
\end{bmatrix}
$$
与
$$
\begin{bmatrix}
\alpha \
\beta
\end{bmatrix}
$$
在测量结果上是等价的，因为测量概率只取决于幅值的平方。

使用Bloch球可视化量子比特

Bloch球是一种将单量子比特状态可视化的方法。它将二维复数向量映射到三维实数向量，使得我们可以直观地理解量子态的变化。Bloch球的表面表示所有可能的量子态，而球内的点表示混合态。

单量子比特运算

量子计算机通过应用一系列量子门来处理数据。单量子比特运算可以分为两类：克利福德门和非克利福德门。克利福德门包括Hadamard门（H）、相位门（S）和泡利门（X、Y、Z），而非克利福德门主要包括T门（也称为$\pi/8$门）。

Hadamard门（H）：
$$
H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix}
$$
相位门（S）：
$$
S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & i \end{bmatrix}
$$
泡利门（X、Y、Z）：
$$
X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad
Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{bmatrix}, \quad
Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}
$$
T门（$\pi/8$门）：
$$
T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & e^{i\pi/4} \end{bmatrix}
$$