函数在区间内连续性的定义与理解
函数在区间内连续性的定义与理解
函数的连续性是数学分析中的一个核心概念，它描述了函数图像在某区间内的平滑程度。本文将从基本定义出发，详细探讨函数在开区间和闭区间内的连续性条件，帮助读者建立对这一概念的深入理解。
在区间内连续性
函数在一个区间内连续实际上和在一点处连续没有本质的区别，唯一的区别在于区间是由多个点，甚至是无数个点构成的。同时要求函数能够在区间内的每一点处都连续，所以知道了函数在一点处连续的定义之后我们就可以知道函数在区间连续的定义了。
1. 定义
我们已经知道函数在一个单点上连续的定义了，现在来把该定义扩展一下，如
果函数在区间( a , b ) (a, b)(a,b)上的每一点处都连续，那么它在该区间上连续。
注意到：区间是开区间，所以f ff实际上没有必要在端点x = a x=ax=a或x = b x=bx=b上连续，例如，如果f ( x ) = 1 / x , x > 0 f(x)=1/x, x>0f(x)=1/x,x>0，那么f ff在区间( 0 , ∞ ) (0,\infty)(0,∞)上连续，即使f ( 0 ) f(0)f(0)无定义，该函数在区间( − ∞ , 0 ) (−\infty,0)(−∞,0)上也连续。
但在区间( − 2 , 2 ) (−2, 2)(−2,2)上不连续，因为即使是开区间0 00也会位于此区间内，而f ff在那里不连续。
2. 闭区间
定义中的区间是开区间，那函数可不可以在闭区间中连续，例如图 5-2 是函数在其定义域[ a , b ] [a,b][a,b]上的图像，由于定义域只有[ a , b ] [a,b][a,b]所以超出该范围后是没有图像的。
我们想说它在[ a , b ] [a,b][a,b]上连续，但问题是闭区间的范围包含a , b a,ba,b两个端点，由于函数在区间定义域外没有图像，双侧极限在端点x = a x=ax=a和x = b x=bx=b处不存在，此时即使只有两个端点不连续，函数就在闭区间[ a , b ] [a,b][a,b]中不连续，注意要求所有点连续，才认为在区间连续。
看到了吧！在数学上区间是很严格的定义，所以函数一旦超出界限就认为无定义的，无效的。同时数学的逻辑也是非常严谨的，要求所有点就是所有点都必须满足，即使只有区间的端点不连续，也认为函数在该闭区间不连续。
在点x = a x=ax=a只有一个右极限，而在点x = b x=bx=b，只有一个左极限，不过没关系，由于是闭区间[ a , b ] [a,b][a,b]的连续性，我们关注的是区间范围内的连续性，所以对于端点来说存在一侧的极限即可，不过方向有要求：左端点的右极限存在，右端点的左极限存在。
现在我们按照上面的分析，可以整理一下，得到函数在闭区间连续的定义，如下：
(1) 函数f ff在( a , b ) (a,b)(a,b)中的每一点都连续。
(2) 函数f ff在点x = a x=ax=a处右连续，即$\lim_{x \rightarrow a+} f(x)$存在且有限，f ( a ) f(a)f(a)存在，并
且这两个量相等。
(3) 以及函数f ff在点x = b x=bx=b处左连续，即$\lim_{x \rightarrow b-} f(x)$存在且有限，f ( b ) f(b)f(b)存在，并且这两个量相等。