线性代数：向量点乘的意义
线性代数：向量点乘的意义
向量的点乘（内积）是线性代数中的一个重要概念，它解决了不同方向向量间存在的方向问题。通过投影的方式，让向量间指向同一方向，向量相乘才有了实际的意义。向量的点乘结果是一个标量，因此也被称为向量的内积。
向量内积的数学表达
在二维空间中，向量的内积可以表示为：
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot (|\vec{v}| \cdot \cos\theta)
$$
其中，$|\vec{u}|$ 和 $|\vec{v}|$ 分别表示向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的模长，$\theta$ 是两个向量之间的夹角。
向量点乘在分类上的反映
向量的点乘结果反映在分量上是向量间同属性分量的乘积的和。例如，对于两个二维向量 $\vec{u} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{v} = (x_2, y_2)$，它们的点乘可以表示为：
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
$$
其中，$x_1 \cdot x_2$ 和 $y_1 \cdot y_2$ 分别是两向量在参考坐标系的基向量上的投影的乘积。当基向量互相垂直的情况下，两向量的不同属性的分量（如 $x_1 \cdot y_2$）的相乘是无意义的，因为分量间的夹角 $\theta = 90^\circ$，所以不同属性分量的乘积是0。
向量点乘的应用
向量点乘的主要应用是计算向量间的夹角 $\theta$：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
$$
向量夹角 $\theta$ 可以用来衡量两个向量的相似程度，这在余弦相似度的应用中非常重要。具体来说：
- 当 $\theta < 90^\circ$ 时，两个向量相似；
- 当 $\theta = 90^\circ$ 时，两个向量无关；
- 当 $\theta > 90^\circ$ 时，两个向量背离。
这种相似度的衡量方法在推荐系统中有着广泛的应用，例如在商品、电影、音乐的推荐场景中，通过计算用户偏好向量和项目特征向量之间的夹角，可以实现个性化推荐。