数学知识科普：复数的定义、运算及几何意义

数学知识科普：复数的定义、运算及几何意义

复数是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。本文系统地介绍了复数的定义、运算性质、几何意义以及三角表示形式，适合对数学感兴趣的读者深入学习。

定义

规定(i^2 = -1)，并称(i)为虚数单位。则(i^3 = -i,i^4 = (i^2)^2 = 1,i^5 = i^4 \cdot i = i)，所以(i^k)具有周期性，周期为(4)。

复数：
[z = a + bi(a,b \in \mathrm R) ]

其中(a)为实部，(b)为虚部。注意：(a)和(b)都是实数。

所有复数组成的集合就叫做复数集，即：
[\mathrm C = {z|z = a + bi,a,b \in \mathrm R} ]

四则运算

四则运算的结果必须写为(a + bi)的形式。

一般地，设(z_1 = a + bi,z_2 = c + di(a,b,c,d \in \mathrm R))，则
[z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i\ z_1z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\ \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} ]

对于复数的除法，关键是消去分母的(i)，若分母是(a + bi)，则可以在分子分母上同乘(a - bi)，将分母变为(a^2 + b^2)；若分母是(ki)，(k \in \mathrm R)则可以分子分母同乘(i)，将分母变为(-ki)。

运算性质

实数的所有运算性质，在复数中均成立。

2. 交换律，结合律和分配律。

3. 完全平方差公式，平方差公式。

4. 等式性质。

基本概念

做复数相关题目时，最关键的是要找到(a)和(b)。

一般来说，复数题会给一个较为复杂的式子，需要化简式子并得到(a + bi)，然后利用(a)和(b)解题。

若题目给定的是抽象复数，即没有给定具体的复数，那么可以考虑设对应复数(z = a + bi)，根据基本概念表示出题目中相关的量代入求解。

分类

[复数(a + bi) \begin{cases} 实数:b=0\ 虚数:b \ne 0 \begin{cases} 纯虚数：a = 0 且 b \ne 0\ 实部不为 0 的虚数:a,b \ne 0 \end{cases} \end{cases} ]

注意：纯虚数需要保证(b \ne 0)。

相等复数

实部与虚部都对应相等的复数，即：如果(a,b,c,d)都是实数，则(a + bi = c + di \iff a = c)且(b = d)。

注意：两个复数，如果步全是实数，则无法比较大小。所以若题目给定两个复数的大小关系，则这两个复数一定都是实数。

复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面，一般对于复数(z = a + bi)，令(Z)的坐标为((a,b))，则点(Z)是复数(Z)在平面上对应的点的坐标。

复数的几何意义

因为平面直角坐标系中的点(Z(a,b))能唯一确定一个以原点(O)为始点，(Z)为终点的向量(\overrightarrow{OZ})，所以复数也可用向量(\overrightarrow{OZ})来表示。

因此能在复数集与平面直角坐标系中以(O)为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即 复数(z = a + bi \iff)向量(\overrightarrow{OZ} = (a,b))。

复数的模

向量(\overrightarrow{OZ} = (a,b))的长度称为复数(z = a + bi)的模（或绝对值）。复数(z)的模用(|z|)表示 ，因此(|z| = \sqrt{a^2 + b^2})。

共轭复数

一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数(z)的共轭复数用(\overline{z})表示。读作：(z)共轭。

当(z = a + bi(a,b \in \mathrm R))时，有(\overline z = a - bi)。

【几何特点】复平面内表示两个复数的点关于实轴对称(\iff)两个复数互为共轭复数。

(|z_1 - z_2|)的几何意义

内容

首先，(|a-b|)表示数轴上(a,b)两点之间的距离。那么类比分析可知，(|z_1 - z_2|)表示复平面上(z_1,z_2)两点之间的距离。

例如等式(|z - 1| = 1)，实际上表示的是与点((1,0))距离为(1)的点的集合，即圆心为((1,0))，半径(r = 1)的圆。

例题

例：复数(z)满足(|z + i| + |z - i| = 2)，则(|z + i + 1|)的最小值是多少。

分析：

由于(|z + i|)和(|z - i|)分别表示平面内距离(A(0,-1))和(B(0,1))的点的坐标，设复数(z)在坐标系上对应的点为(P)。则(|PA| + |PB| = 2)，又由于(|AB| = 2 = |PA| + |PB|)，所以点(P)的运动轨迹在线段(AB)上。

又由于(|z + i + i| = |z -(-1 - i)|)，所以其几何意义为点(P)到(C(-1,-1))的距离最小值。画图可知，当(CP \perp AB)，即(P)与(A)共点时，距离最小，此时最小值为(1)。

总结：遇到模长较多的题目，可以考虑将模长翻译成线段长度，从几何上解决问题。

复数的性质

性质一

内容：
[|z_1z_2| = |z_1||z_2|\ \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}(z_2 \ne 0) ]

作用：若题目中遇到模长的乘除法，则可以分别计算每个部分的模长，再算乘除法。

例如：
[\left|\dfrac{3 + 2i}{2 + 3i}\right| = \dfrac{|3 + 2i|}{|2 + 3i|} = 1 ]

注意：这种性质只适用于乘除法，不适用于加减法。一般情况下，(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|)。

例题：已知复数(z)满足(\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019} z = \left(- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3)，则(|z|)为多少。

分析：

由题意得：
[z = \dfrac{\left(-\dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3}{\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019}} ]

所以
[\begin{aligned} |z| & = \dfrac{\left|\left(- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3\right|}{\left|\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019}\right|}\ & = \dfrac{\left|- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right|^3}{\left|\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right|^{2019}}\ & = \dfrac{\left(\sqrt{\left(- \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)^2}\right)^3}{\left(\dfrac{|1 + i|}{|\sqrt 2|}\right)^{2019}}\ & = \dfrac{1}{1} = 1 \end{aligned} ]

性质二

内容：
[|z| = |\overline z|\ z \cdot \overline z= |z|^2 ]

即两个共轭复数它们的模长相等，一个复数和它的共轭复数相乘，结果为该复数模长的平方。

适用范围：当题目中同时出现(|z|)和(|\overline z|)时可以考虑该性质。

复数的三角形式

对于复数(z = a + bi)，其复平面上对应的点为(Z(a,b))，设(|z| = r)，向量(\overrightarrow{OZ})与(x)轴的夹角为(\theta)，则复数(z)的三角表示为(z = r \cdot \cos \theta + r \cdot \sin \theta \cdot i = r(\cos \theta + i\sin \theta))。如图所示。

这里的(\theta)叫做辐角。任何一个非零复数(z)的辐角都有无穷多个。特别地，在([0,2\pi))内的辐角称为(z)的辐角主值，记作(\arg z)。