一致连续和连续的区别是什么？有哪些不同？

一致连续和连续的区别是什么？有哪些不同？

引用

高三网

1.

http://m.gaosan.com/gaokao/836096.html

一致连续和连续是数学分析中的两个重要概念，它们描述了函数在某区间上的变化规律。本文将从多个角度解释这两个概念的区别，并通过类比和具体例子帮助读者更好地理解。

一致连续和连续的区别

1. 范围不同：连续是局部性质，通常只针对单个点；一致连续是整体性质，需要对定义域上的某个子集做出考虑。

2. 连续性概念不同：一致连续的函数必然连续，但连续的函数未必一致连续。具有一致连续性的函数一定是连续的，但连续函数未必具备一致连续性。

3. 图像表现不同：闭合区间上连续的函数必然是一致连续的，所以在闭合区间内它们是等价的。在开区间上连续的函数不一定是一致连续的；一致连续的函数的图像不会出现无限陡峭的情况，而连续函数可能在某些情况下会产生这样的情形，例如在区间(0,1)上连续的函数y=1/x。

一致连续函数的性质

1. 设函数在区间和上一致连续，若，则在上也一致连续。
2. 若函数都在区间I上一致连续，则也在区间I上一致连续。
3. 若在有限区间I上一致连续，则在I上有界。
4. 若函数都在有限区间I上的有界的一致连续函数，则在区间I上也一致连续。
5. 若在定义域I上一致连续，其值域为U，在U上一致连续，则在I上一致连续。

一致连续的理解

想象有一条长长的路，函数就像是一个人在路上走。

一致连续的意思是，不管这个人在路的哪个位置开始走，也不管走多远，他前后步伐的大小总是差不多的。

比如说，如果规定每一步最大只能跨 1 米，那不管从哪里开始走，走 10 米还是 100 米，每一步都不会超过 1 米。

用数学的话来说，对于任意给定的一个很小的距离（比如叫 ε），都能找到一个固定的长度（比如叫 δ），只要两个点之间的距离小于这个 δ，那么它们对应的函数值的距离就一定小于 ε 。

总之，一致连续就是函数值的变化在整个区间内是比较均匀、有规律的，不会有的地方变化快，有的地方变化慢。

下面解释【对于任意给定的一个很小的距离（比如叫 ε），都能找到一个固定的长度（比如叫 δ），只要两个点之间的距离小于这个 δ，那么它们对应的函数值的距离就一定小于 ε 。】这段话：

假设函数是一个机器，输入值是我们给机器的原料，输出值是机器生产出来的产品。

现在呢，我们说任意给定一个很小很小的误差范围 ε ，这个 ε 就好比是我们对产品质量要求的一个非常小的误差容忍度。

然后呢，我们总能找到一个 δ ， δ 就像是一个标准的原料长度范围。

如果我们给机器输入的两个原料之间的距离小于这个 δ ，也就是原料的差距在 δ 范围内。

那么机器生产出来的两个产品之间的距离，也就是对应的函数值的差距，就一定会小于我们一开始规定的那个很小很小的误差容忍度 ε 。

简单说，就是只要原料的差距小（小于 δ ），产品的差距就一定也小（小于 ε ）。